Notação Steinhaus-Moser - Steinhaus–Moser notation

Em matemática , a notação Steinhaus-Moser é uma notação para expressar certos números grandes . É uma extensão (idealizada por Leo Moser ) da notação poligonal de Hugo Steinhaus .

Definições

um número

n

em um triângulo significa n ⁿ .

um número

n

em um quadrado é equivalente a "o número

n

dentro de

n

triângulos, que estão todos aninhados".

um número

n

em um pentágono é equivalente a "o número

n

dentro de

n

quadrados, que estão todos aninhados".

etc .: $n$ escrito em um polígono ( $m + 1$ ) lados é equivalente a "o número $n$ dentro de polígonos $n$ aninhados com $m$ lados". Em uma série de polígonos aninhados, eles são associados internamente. O número $n$ dentro de dois triângulos é equivalente an ⁿ dentro de um triângulo, que é equivalente an ⁿ elevado à potência de n ⁿ .

Steinhaus definiu apenas o triângulo, o quadrado e o círculo , que equivale ao pentágono definido acima.

Valores especiais

Steinhaus definiu:

mega é o número equivalente a 2 em um círculo: ②
megiston é o número equivalente a 10 em um círculo: ⑩

O número de Moser é o número representado por "2 em um megágono". Megágono é aqui o nome de um polígono com "mega" lados (não deve ser confundido com o polígono com um milhão de lados ).

Notações alternativas:

use as funções quadrado (x) e triângulo (x)
seja M ( n , m , p ) o número representado pelo número n em m polígonos do lado p aninhados ; então as regras são:
- ${\ displaystyle M (n, 1,3) = n ^ {n}}$
- ${\ displaystyle M (n, 1, p + 1) = M (n, n, p)}$
- ${\ displaystyle M (n, m + 1, p) = M (M (n, 1, p), m, p)}$
e
- mega = ${\ displaystyle M (2,1,5)}$
- megiston = ${\ displaystyle M (10,1,5)}$
- moser = ${\ displaystyle M (2,1, M (2,1,5))}$

Mega

Um mega, ②, já é um número muito grande, pois ② = quadrado (quadrado (2)) = quadrado (triângulo (triângulo (2))) = quadrado (triângulo (2 ² )) = quadrado (triângulo (4)) = quadrado (4 ⁴ ) = quadrado (256) = triângulo (triângulo (triângulo (... triângulo (256) ...))) [256 triângulos] = triângulo (triângulo (... triângulo (256 ²⁵⁶ ) ...))) [255 triângulos] ~ triângulo (triângulo (... triângulo (3,2 × 10 ⁶¹⁶ ) ...))) [254 triângulos] = ...

Usando a outra notação:

mega = M (2,1,5) = M (256,256,3)

Com a função , temos mega = onde o sobrescrito denota uma potência funcional , não uma potência numérica. ${\ displaystyle f (x) = x ^ {x}}$ ${\ displaystyle f ^ {256} (256) = f ^ {258} (2)}$

Temos (observe a convenção de que os poderes são avaliados da direita para a esquerda):

M (256,2,3) = ${\ displaystyle (256 ^ {\, \! 256}) ^ {256 ^ {256}} = 256 ^ {256 ^ {257}}}$
M (256,3,3) = ≈ ${\ displaystyle (256 ^ {\, \! 256 ^ {257}}) ^ {256 ^ {256 ^ {257}}} = 256 ^ {256 ^ {257} \ vezes 256 ^ {256 ^ {257}} } = 256 ^ {256 ^ {257 + 256 ^ {257}}}}$ ${\ displaystyle 256 ^ {\, \! 256 ^ {256 ^ {257}}}}$

Similarmente:

M (256,4,3) ≈ ${\ displaystyle {\, \! 256 ^ {256 ^ {256 ^ {256 ^ {257}}}}}}$
M (256,5,3) ≈ ${\ displaystyle {\, \! 256 ^ {256 ^ {256 ^ {256 ^ {256 ^ {257}}}}}}}$
M (256,6,3) ≈ ${\ displaystyle {\, \! 256 ^ {256 ^ {256 ^ {256 ^ {256 ^ {256 ^ {257}}}}}}}}$

etc.

Desse modo:

mega = , onde denota um poder funcional da função . ${\ displaystyle M (256,256,3) \ aprox (256 \ uparrow) ^ {256} 257}$ ${\ displaystyle (256 \ uparrow) ^ {256}}$ ${\ displaystyle f (n) = 256 ^ {n}}$

Arredondando de forma mais grosseira (substituindo o 257 no final por 256), obtemos mega ≈ , usando a notação de seta para cima de Knuth . ${\ displaystyle 256 \ uparrow \ uparrow 257}$

Após as primeiras etapas, o valor de é cada vez aproximadamente igual a . Na verdade, é quase igual a (consulte também a aritmética aproximada para números muito grandes ). Usando poderes de base 10, obtemos: ${\ displaystyle n ^ {n}}$ ${\ displaystyle 256 ^ {n}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {n}}$

${\ displaystyle M (256,1,3) \ aproximadamente 3,23 \ vezes 10 ^ {616}}$
${\ displaystyle M (256,2,3) \ approx 10 ^ {\, \! 1,99 \ vezes 10 ^ {619}}}$ ( é adicionado ao 616) ${\ displaystyle \ log _ {10} 616}$
${\ displaystyle M (256,3,3) \ approx 10 ^ {\, \! 10 ^ {1,99 \ vezes 10 ^ {619}}}}$ ( é adicionado ao , o que é insignificante; portanto, apenas um 10 é adicionado na parte inferior) ${\ displaystyle 619}$ ${\ displaystyle 1,99 \ vezes 10 ^ {619}}$
${\ displaystyle M (256,4,3) \ approx 10 ^ {\, \! 10 ^ {10 ^ {1,99 \ vezes 10 ^ {619}}}}}$

...

mega = , onde denota um poder funcional da função . Por isso ${\ displaystyle M (256,256,3) \ approx (10 \ uparrow) ^ {255} 1,99 \ vezes 10 ^ {619}}$ ${\ displaystyle (10 \ uparrow) ^ {255}}$ ${\ displaystyle f (n) = 10 ^ {n}}$ ${\ displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow 257 <{\ text {mega}} <10 \ uparrow \ uparrow 258}$