Modelo de equações simultâneas - Simultaneous equations model

Modelos de equações simultâneas são um tipo de modelo estatístico no qual as variáveis ​​dependentes são funções de outras variáveis ​​dependentes, em vez de apenas variáveis ​​independentes. Isso significa que algumas das variáveis ​​explicativas são determinadas em conjunto com a variável dependente, o que em economia geralmente é a consequência de algum mecanismo de equilíbrio subjacente . Pegue o modelo típico de oferta e demanda : embora normalmente se determine a quantidade fornecida e demandada como uma função do preço estabelecido pelo mercado, também é possível que o inverso seja verdadeiro, onde os produtores observam a quantidade que os consumidores demandam e em seguida, defina o preço.

A simultaneidade apresenta desafios para a estimativa dos parâmetros estatísticos de interesse, porque a suposição de Gauss-Markov de exogeneidade estrita dos regressores é violada. E embora seja natural estimar todas as equações simultâneas de uma vez, isso geralmente leva a um problema de otimização não linear de custo computacional, mesmo para o sistema mais simples de equações lineares . Essa situação levou ao desenvolvimento, liderado pela Comissão Cowles nas décadas de 1940 e 1950, de várias técnicas que estimam cada equação no modelo seriatim, mais notavelmente a verossimilhança limitada de máxima verossimilhança e os mínimos quadrados de dois estágios .

Forma estrutural e reduzida

Suponha que haja m equações de regressão da forma

${\ displaystyle y_ {it} = y _ {- i, t} '\ gamma _ {i} + x_ {it}' \; \! \ beta _ {i} + u_ {it}, \ quad i = 1, \ ldots, m,}$

onde i é o número da equação e t = 1, ..., T é o índice de observação. Nestas equações x _que é o k _i × um vector de variáveis exógenas, y _que é a variável dependente, y _{-i, t} é o n _i × um vector de todas as outras variáveis endógenas que introduzir o i ^th equação na direita lado, e u _-lo são os termos de erro. A notação “- i ” indica que o vetor y _{−i, t} pode conter qualquer um dos y , exceto y _it (uma vez que já está presente no lado esquerdo). Os coeficientes de regressão β _i e γ _i são de dimensões k _i × 1 e n _i × 1 correspondentemente. Empilhando verticalmente as observações T correspondentes à i ^ésima equação, podemos escrever cada equação em forma de vetor como

${\ displaystyle y_ {i} = Y _ {- i} \ gamma _ {i} + X_ {i} \ beta _ {i} + u_ {i}, \ quad i = 1, \ ldots, m,}$

onde y _i e u _i são vetores T × 1, X _i é uma matriz T × k _i de regressores exógenos, e Y _−i é uma matriz T × n _i de regressores endógenos no lado direito da i ^ésima equação . Finalmente, podemos mover todas as variáveis ​​endógenas para o lado esquerdo e escrever as m equações conjuntamente na forma de vetor como

${\ displaystyle Y \ Gamma = X \ mathrm {B} + U. \,}$

Essa representação é conhecida como forma estrutural . Nesta equação, Y = [ y ₁ y ₂ ... y _m ] é a matriz T × m das variáveis ​​dependentes. Cada uma das matrizes Y _-i é, de facto, um n _i -columned submatriz deste Y . A matriz m × m Γ, que descreve a relação entre as variáveis ​​dependentes, tem uma estrutura complicada. Ele tem uns na diagonal, e todos os outros elementos de cada coluna i são os componentes do vetor −γ _i ou zeros, dependendo de quais colunas de Y foram incluídas na matriz Y _−i . A matriz T × k X contém todos os regressores exógenos de todas as equações, mas sem repetições (ou seja, a matriz X deve ser de classificação completa). Assim, cada X _i é um K _i -columned submatriz de X . A matriz Β tem tamanho k × m , e cada uma de suas colunas consiste nos componentes dos vetores β _i e zeros, dependendo de quais dos regressores de X foram incluídos ou excluídos de X _i . Finalmente, U = [ u ₁ u ₂ ... u _m ] é uma matriz T × m dos termos de erro.

Após multiplicar a equação estrutural por Γ ⁻¹ , o sistema pode ser escrito na forma reduzida como

${\ displaystyle Y = X \ mathrm {B} \ Gamma ^ {- 1} + U \ Gamma ^ {- 1} = X \ Pi + V. \,}$

Este já é um modelo linear geral simples e pode ser estimado, por exemplo, por mínimos quadrados ordinários . Infelizmente, a tarefa de decompor a matriz estimada nos fatores individuais Β e Γ ⁻¹ é bastante complicada e, portanto, a forma reduzida é mais adequada para predição, mas não para inferência. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ hat {\ Pi}}}$

Suposições

Em primeiro lugar, a classificação da matriz X de regressores exógenos deve ser igual a k , tanto em amostras finitas quanto no limite como T → ∞ (este último requisito significa que no limite a expressão deve convergir para uma matriz k × k não degenerada ) . A matriz Γ também é considerada não degenerada. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {T}} X '\! X}$

Em segundo lugar, os termos de erro são considerados independentes em série e distribuídos de forma idêntica . Ou seja, se a t- ^ésima linha da matriz U é denotada por u _{( t )} , então a sequência de vetores { u _{( t )} } deve ser iid, com média zero e alguma matriz de covariância Σ (que é desconhecida). Em particular, isso implica que E [ U ] = 0 e E [ U′U ] = T  Σ .

Por último, as suposições são necessárias para a identificação.

Identificação

As condições de identificação requerem que o sistema de equações lineares seja solucionável para os parâmetros desconhecidos.

Mais especificamente, a condição de ordem , uma condição necessária para a identificação, é que para cada equação k _i + n _i ≤ k , que pode ser formulada como "o número de variáveis ​​exógenas excluídas é maior ou igual ao número de variáveis ​​endógenas incluídas" .

A condição de classificação , uma condição mais forte que é necessária e suficiente, é que a classificação de Π _{i 0} é igual a n _i , onde Π _{i 0} é uma matriz ( k - k _i ) × n _i que é obtida de Π riscando aquelas colunas que correspondem às variáveis ​​endógenas excluídas e as linhas que correspondem às variáveis ​​exógenas incluídas.

Usando restrições de equação cruzada para alcançar a identificação

Em modelos de equações simultâneas, o método mais comum para obter identificação é impondo restrições de parâmetros dentro da equação. No entanto, a identificação também é possível usando restrições de equação cruzada.

Para ilustrar como as restrições de equação cruzada podem ser usadas para identificação, considere o seguinte exemplo de Wooldridge

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} y_ {1} & = \ gamma _ {12} y_ {2} + \ delta _ {11} z_ {1} + \ delta _ {12} z_ {2} + \ delta _ {13} z_ {3} + u_ {1} \\ y_ {2} & = \ gamma _ {21} y_ {1} + \ delta _ {21} z_ {1} + \ delta _ {22} z_ {2} + u_ {2} \ end {alinhado}}}$

onde z's não estão correlacionados com u's e y's são variáveis endógenas . Sem outras restrições, a primeira equação não é identificada porque não há variável exógena excluída. A segunda equação é apenas identificada se δ ₁₃ ≠ 0 , o que é considerado verdadeiro para o resto da discussão.

Agora impomos a restrição da equação cruzada de δ ₁₂ = δ ₂₂ . Uma vez que a segunda equação é identificada, podemos tratar δ ₁₂ como conhecido para o propósito de identificação. Então, a primeira equação se torna:

${\ displaystyle y_ {1} - \ delta _ {12} z_ {2} = \ gamma _ {12} y_ {2} + \ delta _ {11} z_ {1} + \ delta _ {13} z_ {3 } + u_ {1}}$

Então, podemos usar ( z ₁ , z ₂ , z ₃ ) como instrumentos para estimar os coeficientes na equação acima, uma vez que há uma variável endógena ( y ₂ ) e uma variável exógena excluída ( z ₂ ) no lado direito. Portanto, as restrições de equação cruzada em vez de restrições dentro da equação podem alcançar a identificação.

Estimativa

Mínimos quadrados de dois estágios (2SLS)

O método de estimação mais simples e mais comum para o modelo de equações simultâneas é o chamado método dos mínimos quadrados em dois estágios , desenvolvido independentemente por Theil (1953) e Basmann (1957) . É uma técnica de equação por equação, em que os regressores endógenos no lado direito de cada equação estão sendo instrumentados com os regressores X de todas as outras equações. O método é chamado de "dois estágios" porque realiza a estimativa em duas etapas: erro harvtxt: sem alvo: CITEREFTheil1953 ( ajuda )

Passo 1 : Regressar Y _−i em X e obter os valores previstos ; ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ hat {Y}} _ {\! - i}}$

Passo 2 : Estime γ _i , β _i pela regressão de mínimos quadrados ordinários de y _i on e X _i . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ hat {Y}} _ {\! - i}}$

Se a i ^ésima equação no modelo é escrita como

${\ displaystyle y_ {i} = {\ begin {pmatrix} Y _ {- i} & X_ {i} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ gamma _ {i} \\\ beta _ {i} \ fim {pmatriz}} + u_ {i} \ equiv Z_ {i} \ delta _ {i} + u_ {i},}$

onde Z _i é uma matriz T × ( n _i  + k _i ) de ambos os regressores endógenos e exógenos na i ^ésima equação, e δ _i é um vetor de coeficientes de regressão ( n _i  + k _i ) dimensional, então o estimador 2SLS de δ _i será dado por

${\ displaystyle {\ hat {\ delta}} _ {i} = {\ big (} {\ hat {Z}} '_ {i} {\ hat {Z}} _ {i} {\ big)} ^ {-1} {\ hat {Z}} '_ {i} y_ {i} = {\ big (} Z' _ {i} PZ_ {i} {\ big)} ^ {- 1} Z '_ { i} Py_ {i},}$

onde P = X  ( X  ' X ) ^-1 X  ' é a matriz de projecção no espaço linear gerado pelo exógeno regressores X .

Mínimos quadrados indiretos

Mínimos quadrados indiretos é uma abordagem em econometria onde os coeficientes em um modelo de equações simultâneas são estimados a partir do modelo de forma reduzida usando mínimos quadrados ordinários . Para isso, o sistema estrutural de equações é transformado primeiro na forma reduzida. Uma vez que os coeficientes são estimados, o modelo é colocado de volta na forma estrutural.

Máxima probabilidade de informação limitada (LIML)

O método de máxima verossimilhança de "informação limitada" foi sugerido por MA Girshick em 1947 e formalizado por TW Anderson e H. Rubin em 1949. É usado quando se está interessado em estimar uma única equação estrutural por vez (daí seu nome de informação limitada ), diga para observação i:

${\ displaystyle y_ {i} = Y _ {- i} \ gamma _ {i} + X_ {i} \ beta _ {i} + u_ {i} \ equiv Z_ {i} \ delta _ {i} + u_ { eu}}$

As equações estruturais para as variáveis ​​endógenas restantes Y _−i não são especificadas e são dadas em sua forma reduzida:

${\ displaystyle Y _ {- i} = X \ Pi + U _ {- i}}$

A notação neste contexto é diferente do que para o caso IV simples . Um tem:

• ${\ displaystyle Y _ {- i}}$ : As variáveis ​​endógenas.
• ${\ displaystyle X _ {- i}}$ : As variáveis ​​exógenas
• ${\ displaystyle X}$ : O (s) instrumento (s) (freqüentemente denotados ) ${\ displaystyle Z}$

A fórmula explícita para o LIML é:

${\ displaystyle {\ hat {\ delta}} _ {i} = {\ Big (} Z '_ {i} (I- \ lambda M) Z_ {i} {\ Big)} ^ {\! - 1} Z '_ {i} (I- \ lambda M) y_ {i},}$

onde M = I - X  ( X  ′ X ) ⁻¹ X  ′ , e λ é a menor raiz característica da matriz:

${\ displaystyle {\ Big (} {\ begin {bmatrix} y_ {i} \\ Y _ {- i} \ end {bmatrix}} M_ {i} {\ begin {bmatrix} y_ {i} & Y _ {- i} \ end {bmatrix}} {\ Big)} {\ Big (} {\ begin {bmatrix} y_ {i} \\ Y _ {- i} \ end {bmatrix}} M {\ begin {bmatrix} y_ {i} & Y _ {- i} \ end {bmatrix}} {\ Big)} ^ {\! - 1}}$

onde, de forma semelhante, M _i = I - X _i  ( X _i ′ X _i ) ⁻¹ X _i ′ .

Em outras palavras, λ é a menor solução do problema de autovalor generalizado , consulte Theil (1971 , p. 503):

${\ displaystyle {\ Big |} {\ begin {bmatrix} y_ {i} & Y _ {- i} \ end {bmatrix}} 'M_ {i} {\ begin {bmatrix} y_ {i} & Y _ {- i} \ end {bmatrix}} - \ lambda {\ begin {bmatrix} y_ {i} & Y _ {- i} \ end {bmatrix}} 'M {\ begin {bmatrix} y_ {i} & Y _ {- i} \ end {bmatrix }} {\ Grande |} = 0}$

Estimadores de classe K

O LIML é um caso especial dos estimadores da classe K:

${\ displaystyle {\ hat {\ delta}} = {\ Big (} Z '(I- \ kappa M) Z {\ Big)} ^ {\! - 1} Z' (I- \ kappa M) y, }$

com:

• ${\ displaystyle \ delta = {\ begin {bmatrix} \ beta _ {i} & \ gamma _ {i} \ end {bmatrix}}}$
• ${\ displaystyle Z = {\ begin {bmatrix} X_ {i} & Y _ {- i} \ end {bmatrix}}}$

Vários estimadores pertencem a esta classe:

• κ = 0: OLS
• κ = 1: 2SLS. Observe de fato que, neste caso, a matriz de projeção usual do 2SLS ${\ displaystyle I- \ kappa M = IM = P}$
• κ = λ: LIML
• κ = λ - α (nK): estimador Fuller (1977) . Aqui, K representa o número de instrumentos, n o tamanho da amostra e α uma constante positiva a ser especificada. Um valor de α = 1 produzirá um estimador que é aproximadamente imparcial.

Mínimos quadrados de três estágios (3SLS)

O estimador de mínimos quadrados de três estágios foi introduzido por Zellner & Theil (1962) . Pode ser visto como um caso especial de GMM de múltiplas equações, onde o conjunto de variáveis ​​instrumentais é comum a todas as equações. Se todos os regressores são de fato predeterminados, então o 3SLS se reduz a regressões aparentemente não relacionadas (SUR). Portanto, também pode ser visto como uma combinação de mínimos quadrados de dois estágios (2SLS) com SUR.

Aplicações em ciências sociais

Em todos os campos e disciplinas, modelos de equações simultâneas são aplicados a vários fenômenos observacionais. Essas equações são aplicadas quando os fenômenos são assumidos como reciprocamente causais. O exemplo clássico é a oferta e a demanda na economia . Em outras disciplinas, há exemplos como avaliações de candidatos e identificação partidária ou opinião pública e política social em ciências políticas ; investimento em estradas e demanda de viagens na geografia; e realização educacional e entrada da paternidade na sociologia ou demografia . O modelo de equação simultânea requer uma teoria de causalidade recíproca que inclui características especiais se os efeitos causais devem ser estimados como feedback simultâneo em oposição a 'blocos' unilaterais de uma equação onde um pesquisador está interessado no efeito causal de X em Y enquanto mantém o efeito causal de Y em X constante, ou quando o pesquisador sabe a quantidade exata de tempo que leva para cada efeito causal ocorrer, ou seja, a duração dos atrasos causais. Em vez de efeitos retardados, feedback simultâneo significa estimar o impacto simultâneo e perpétuo de X e Y um no outro. Isso requer uma teoria de que os efeitos causais são simultâneos no tempo, ou tão complexos que parecem se comportar simultaneamente; um exemplo comum são os humores dos colegas de quarto. Para estimar modelos de feedback simultâneo, uma teoria de equilíbrio também é necessária - que X e Y estão em estados relativamente estáveis ​​ou são parte de um sistema (sociedade, mercado, sala de aula) que está em um estado relativamente estável.

Veja também

• Modelo linear geral
• Regressões aparentemente não relacionadas
• Forma reduzida
• Problema de identificação de parâmetro

Referências

Leitura adicional

• Asteriou, Dimitrios; Hall, Stephen G. (2011). Econometria aplicada (segunda edição). Basingstoke: Palgrave Macmillan. p. 395. ISBN   978-0-230-27182-1 .
• Chow, Gregory C. (1983). Econometria . Nova York: McGraw-Hill. pp.  117-121 . ISBN   0-07-010847-1 .
• Fomby, Thomas B .; Hill, R. Carter; Johnson, Stanley R. (1984). "Modelos de Equações Simultâneas". Métodos Econométricos Avançados . Nova York: Springer. pp. 437–552. ISBN   0-387-90908-7 .
• Maddala, GS ; Lahiri, Kajal (2009). "Modelos de Equações Simultâneas". Introdução à Econometria (Quarta ed.). Nova York: Wiley. pp. 355–400. ISBN   978-0-470-01512-4 .
• Ruud, Paul A. (2000). "Equações simultâneas". Uma introdução à teoria econométrica clássica . Imprensa da Universidade de Oxford. pp. 697–746. ISBN   0-19-511164-8 .
• Sargan, Denis (1988). Aulas de Teoria Econométrica Avançada . Oxford: Basil Blackwell. pp. 68–89. ISBN   0-631-14956-2 .
• Wooldridge, Jeffrey M. (2013). "Modelos de Equações Simultâneas". Econometria introdutória (quinta edição). Sudoeste. pp. 554–582. ISBN   978-1-111-53104-1 .

links externos

• Palestra sobre o Problema de Identificação em 2SLS e Estimativa no YouTube por Mark Thoma