Modelo linear geral - General linear model

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Análise de regressão
Modelos
Regressão linear Regressão simples Regressão polinomial Modelo linear geral
Modelo linear generalizado Escolha discreta Regressão binomial Regressão binária Regressão logística Regressão logística multinomial Logit misto Probit Probit multinomial Logit ordenado Probit ordenado Poisson
Modelo multinível Efeitos fixos Efeitos aleatórios Modelo linear de efeitos mistos Modelo de efeitos mistos não linear
Regressão não linear Não paramétrico Semiparamétrico Robusto Quantil Isotônico Componentes principais Ângulo mínimo Local Segmentado
Erros em variáveis
Estimativa
Mínimos quadrados Linear Não linear
Ordinário Pesada Generalizado
Parcial Total Não negativo Regressão de cume Regularizado
Desvios mínimos absolutos Reponderado iterativamente Bayesiano Multivariada bayesiana
Fundo
Validação de regressão Resposta média e prevista Erros e residuais Qualidade de ajuste Resíduo estudantizado Teorema de Gauss-Markov
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v t e

O modelo linear geral ou modelo de regressão multivariado geral é uma forma compacta de escrever simultaneamente vários modelos de regressão linear múltipla . Nesse sentido, não é um modelo linear estatístico separado . Os vários modelos de regressão linear múltipla podem ser escritos de forma compacta como

${\ displaystyle \ mathbf {Y} = \ mathbf {X} \ mathbf {B} + \ mathbf {U},}$

onde Y é uma matriz com uma série de medições multivariadas (cada coluna sendo um conjunto de medições em uma das variáveis ​​dependentes ), X é uma matriz de observações em variáveis ​​independentes que pode ser uma matriz de design (cada coluna sendo um conjunto de observações em uma das variáveis ​​independentes), B é uma matriz que contém parâmetros que geralmente devem ser estimados e U é uma matriz que contém erros (ruído). Os erros geralmente são considerados não correlacionados nas medições e seguem uma distribuição normal multivariada . Se os erros não seguem uma distribuição normal multivariada, modelos lineares generalizados podem ser usadas para relaxar suposições sobre Y e U .

O modelo linear geral incorpora um número de diferentes modelos estatísticos: ANOVA , ANCOVA , MANOVA , MANCOVA , comum de regressão linear , t -teste e F -test . O modelo linear geral é uma generalização da regressão linear múltipla para o caso de mais de uma variável dependente. Se Y , B e U fossem vetores de coluna , a equação da matriz acima representaria a regressão linear múltipla.

Os testes de hipóteses com o modelo linear geral podem ser feitos de duas maneiras: multivariados ou como vários testes univariados independentes . Nos testes multivariados, as colunas de Y são testadas juntas, enquanto nos testes univariados as colunas de Y são testadas independentemente, ou seja, como testes univariados múltiplos com a mesma matriz de design.

Comparação com regressão linear múltipla

A regressão linear múltipla é uma generalização da regressão linear simples para o caso de mais de uma variável independente e um caso especial de modelos lineares gerais, restrito a uma variável dependente. O modelo básico para regressão linear múltipla é

${\ displaystyle Y_ {i} = \ beta _ {0} + \ beta _ {1} X_ {i1} + \ beta _ {2} X_ {i2} + \ ldots + \ beta _ {p} X_ {ip} + \ epsilon _ {i}}$

para cada observação i = 1, ..., n .

Na fórmula acima, consideramos n observações de uma variável dependente ep variáveis ​​independentes. Assim, Y _i é a i ^ésima observação da variável dependente, X _ij é a i ^ésima observação da j ^ésima variável independente, j = 1, 2, ..., p . Os valores β _j representam parâmetros a serem estimados, e ε _i é o i ^ésimo erro normal distribuído de forma independente e idêntica.

Na regressão linear multivariada mais geral, há uma equação da forma acima para cada uma das m > 1 variáveis ​​dependentes que compartilham o mesmo conjunto de variáveis ​​explicativas e, portanto, são estimadas simultaneamente entre si:

${\ displaystyle Y_ {ij} = \ beta _ {0j} + \ beta _ {1j} X_ {i1} + \ beta _ {2j} X_ {i2} + \ ldots + \ beta _ {pj} X_ {ip} + \ epsilon _ {ij}}$

para todas as observações indexadas como i = 1, ..., n e para todas as variáveis ​​dependentes indexadas como j = 1, ..., m .

Observe que, uma vez que cada variável dependente tem seu próprio conjunto de parâmetros de regressão a serem ajustados, do ponto de vista computacional a regressão multivariada geral é simplesmente uma sequência de regressões lineares múltiplas padrão usando as mesmas variáveis ​​explicativas.

Comparação com o modelo linear generalizado

O modelo linear geral e o modelo linear generalizado (GLM) são duas famílias comumente usadas de métodos estatísticos para relacionar algum número de preditores contínuos e / ou categóricos a uma única variável de resultado .

A principal diferença entre as duas abordagens é que o modelo linear geral assume estritamente que os resíduos seguirão uma distribuição condicionalmente normal , enquanto o GLM afrouxa essa suposição e permite uma variedade de outras distribuições da família exponencial para os resíduos. De notar que o modelo linear geral é um caso especial do GLM no qual a distribuição dos resíduos segue uma distribuição condicionalmente normal.

A distribuição dos resíduos depende muito do tipo e da distribuição da variável de resultado; diferentes tipos de variáveis ​​de resultado levam à variedade de modelos dentro da família GLM. Os modelos comumente usados ​​na família GLM incluem regressão logística binária para resultados binários ou dicotômicos, regressão de Poisson para resultados de contagem e regressão linear para resultados contínuos normalmente distribuídos. Isso significa que o GLM pode ser considerado uma família geral de modelos estatísticos ou modelos específicos para tipos de resultados específicos.

	Modelo linear geral	Modelo linear generalizado
Método de estimativa típico	Mínimos quadrados , melhor previsão linear imparcial	Máxima verossimilhança ou bayesiana
Exemplos	ANOVA , ANCOVA , regressão linear	regressão linear , regressão logística , regressão de Poisson , regressão gama, modelo linear geral
Extensões e métodos relacionados	MANOVA , MANCOVA , modelo linear misto	modelo linear generalizado misto (GLMM), equações de estimativa generalizadas (GEE)
Pacote R e função	lm () no pacote de estatísticas (base R)	glm () no pacote de estatísticas (base R)
Função Matlab	mvregress ()	glmfit ()
Procedimentos SAS	PROC GLM , PROC REG	PROC GENMOD , PROC LOGISTIC (para resultados categóricos binários e ordenados ou não ordenados)
Comando Stata	regressar	glm
Comando SPSS	regressão , glm	genlin, logística
Função Wolfram Language e Mathematica	LinearModelFit []	GeneralizedLinearModelFit []
Comando EViews	ls	glm

Formulários

Uma aplicação do modelo linear geral aparece na análise de múltiplas varreduras cerebrais em experimentos científicos onde Y contém dados de scanners cerebrais, X contém variáveis ​​de projeto experimental e confunde. Geralmente é testado de forma univariada (normalmente referido como univariada de massa neste cenário) e é frequentemente referido como mapeamento paramétrico estatístico .

Veja também

• Regressão linear multivariada bayesiana

Notas

Referências

• Christensen, Ronald (2002). Respostas planas a questões complexas: a teoria dos modelos lineares (terceira edição). Nova York: Springer. ISBN 0-387-95361-2.
• Wichura, Michael J. (2006). A abordagem livre de coordenadas para modelos lineares . Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. pp. xiv + 199. ISBN 978-0-521-86842-6. MR  2283455 .
• Rawlings, John O .; Pantula, Sastry G .; Dickey, David A., eds. (1998). "Análise de regressão aplicada". Springer Textos em Estatística. doi : 10.1007 / b98890 . ISBN 0-387-98454-2. Citar diário requer |journal=( ajuda )