Quocientes parciais restritos - Restricted partial quotients

Em matemática , e mais particularmente na teoria analítica de frações regulares contínuas , uma fração regular contínua infinita x é considerada restrita , ou composta de quocientes parciais restritos , se a sequência de denominadores de seus quocientes parciais for limitada; isso é

${\ displaystyle x = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, \ dots] = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac {1} {a_ {3} + {\ cfrac {1} {a_ {4} + \ ddots}}}}}}}} = a_ {0} + {\ underset {i = 1} {\ overset {\ infty} {K}}} {\ frac {1} {a_ {i}}}, \,}$

e há algum inteiro positivo M de tal modo que todos os (integral) denominadores parciais um _i são menos do que ou igual a M .

Frações contínuas periódicas

Uma fração contínua periódica regular consiste em um bloco inicial finito de denominadores parciais seguido por um bloco de repetição; E se

${\ displaystyle \ zeta = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {k}, {\ overline {a_ {k + 1}, a_ {k + 2}, \ dots , a_ {k + m}}}], \,}$

então ζ é um número irracional quadrático e sua representação como uma fração contínua regular é periódica. É evidente que qualquer fracção contínua regular e periódica consiste de quocientes parciais restritos, uma vez que nenhum dos denominadores parciais pode ser maior do que o maior de um ₀ através de um _{de k + m} . Historicamente, os matemáticos estudaram frações contínuas periódicas antes de considerar o conceito mais geral de quocientes parciais restritos.

CFs restritos e o conjunto Cantor

O conjunto de Cantor é um conjunto C de medida de zero a partir do qual uma completa intervalo de números reais podem ser construídos através da adição simples - isto é, qualquer número real a partir do intervalo pode ser expressa como a soma de exactamente dois elementos do conjunto C . A prova usual da existência do conjunto Cantor baseia-se na ideia de fazer um "buraco" no meio de um intervalo, depois fazer furos nos subintervalos restantes e repetir este processo ad infinitum .

O processo de adicionar mais um quociente parcial a uma fração contínua finita é, em muitos aspectos, análogo a esse processo de "abrir um buraco" em um intervalo de números reais. O tamanho do "buraco" é inversamente proporcional ao próximo denominador parcial escolhido - se o próximo denominador parcial for 1, a lacuna entre os convergentes sucessivos é maximizada. Para tornar os teoremas a seguir precisos, consideraremos CF ( M ), o conjunto de frações continuadas restritas cujos valores estão no intervalo aberto (0, 1) e cujos denominadores parciais são limitados por um inteiro positivo M - isto é,

${\ displaystyle \ mathrm {CF} (M) = \ {[0; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ dots]: 1 \ leq a_ {i} \ leq M \}. \ ,}$

Fazendo um argumento paralelo ao usado para construir o conjunto de Cantor, dois resultados interessantes podem ser obtidos.

• Se M ≥ 4, então qualquer número real em um intervalo pode ser construído como a soma de dois elementos de CF ( M ), onde o intervalo é dado por

${\ displaystyle (2 \ times [0; {\ overline {M, 1}}], 2 \ times [0; {\ overline {1, M}}]) = \ left ({\ frac {1} {M }} \ left [{\ sqrt {M ^ {2} + 4M}} - M \ direita], {\ sqrt {M ^ {2} + 4M}} - M \ direita).}$

• Um argumento simples mostra que vale quando M  ≥ 4, e isso por sua vez implica que se M  ≥ 4, todo número real pode ser representado na forma n  + CF ₁  + CF ₂ , onde n é um inteiro, e CF ₁ e CF ₂ são elementos de CF ( M ). ${\ displaystyle {\ scriptstyle [0; {\ overline {1, M}}] - [0; {\ overline {M, 1}}] \ geq {\ frac {1} {2}}}}$

Conjectura de Zaremba

Zaremba conjecturou a existência de uma constante absoluta A , de modo que os racionais com quocientes parciais restritos por A contêm pelo menos um para cada denominador (inteiro positivo). A escolha A = 5 é compatível com a evidência numérica. Outras conjecturas reduzem esse valor, no caso de todos os denominadores suficientemente grandes. Jean Bourgain e Alex Kontorovich mostraram que A pode ser escolhido de forma que a conclusão seja válida para um conjunto de denominadores de densidade 1.

Veja também

• Espectro de Markov

Referências