Número irracional quadrático - Quadratic irrational number

Em matemática , um número irracional quadrático (também conhecido como irracional quadrático , irracionalidade quadrática ou surd quadrático ) é um número irracional que é a solução para alguma equação quadrática com coeficientes racionais que é irredutível em relação aos números racionais . Como as frações nos coeficientes de uma equação quadrática podem ser eliminadas multiplicando-se ambos os lados por seu mínimo denominador comum , um irracional quadrático é uma raiz irracional de alguma equação quadrática com coeficientes inteiros . Os números irracionais quadráticos, um subconjunto dos números complexos , são números algébricos de grau 2 e, portanto, podem ser expressos como

para inteiros a , b , c , d ; com b , c e d diferentes de zero e com c sem quadrados . Quando c é positivo, obtemos números irracionais quadráticos reais , enquanto um c negativo fornece números irracionais quadráticos complexos que não são números reais . Isso define uma injeção dos irracionais quadráticos em quádruplos de inteiros, de modo que sua cardinalidade é no máximo contável ; como, por outro lado, toda raiz quadrada de um número primo é um irracional quadrático distinto e há muitos números primos contáveis, eles são pelo menos contáveis; portanto, os irracionais quadráticos são um conjunto contável .

Irracional quadrático são usados na teoria do campo para construir extensões de campo do campo de números racionais Q . Dado o número inteiro livre de quadrados c , o aumento de Q por irracionais quadráticos usando c produz um campo quadrático Q ( c ). Por exemplo, os inversos dos elementos de Q ( c ) são da mesma forma que os números algébricos acima:

Os irracionais quadráticos têm propriedades úteis, especialmente em relação às frações contínuas , onde temos o resultado que todos os irracionais quadráticos reais, e apenas os irracionais quadráticos reais, têm formas de fração contínuas periódicas . Por exemplo

As frações contínuas periódicas podem ser colocadas em correspondência um a um com os números racionais. A correspondência é explicitamente fornecida pela função de ponto de interrogação de Minkowski , e uma construção explícita é fornecida naquele artigo. É inteiramente análogo à correspondência entre números racionais e sequências de dígitos binários que têm uma cauda eventualmente repetida, que também é fornecida pela função de ponto de interrogação. Essas sequências repetidas correspondem às órbitas periódicas da transformação diádica (para os dígitos binários) e ao mapa de Gauss para as frações contínuas.

Números irracionais quadráticos reais e formas quadráticas binárias indefinidas

Podemos reescrever uma irracionalidade quadrática da seguinte maneira:

Segue-se que todo número irracional quadrático pode ser escrito na forma

Esta expressão não é única.

Corrija um número inteiro positivo não quadrado congruente a ou módulo e defina um conjunto como

Cada irracionalidade quadrática está em algum conjunto , uma vez que as condições de congruência podem ser satisfeitas escalando o numerador e o denominador por um fator apropriado.

Uma matriz

com entradas inteiras e pode ser usado para transformar um número em . O número transformado é

Se estiver dentro , então também está.

A relação entre e acima é uma relação de equivalência . (Isso se segue, por exemplo, porque a transformação acima dá uma ação de grupo do grupo de matrizes inteiras com determinante 1 no conjunto .) Assim, as partições em classes de equivalência . Cada classe de equivalência compreende uma coleção de irracionalidades quadráticas com cada par equivalente pela ação de alguma matriz. O teorema de Serret implica que as expansões de fração contínuas regulares de irracionalidades quadráticas equivalentes são eventualmente as mesmas, isto é, suas sequências de quocientes parciais têm a mesma cauda. Assim, todos os números em uma classe de equivalência têm expansões de fração contínuas que são eventualmente periódicas com a mesma cauda.

Existem finitamente muitas classes de equivalência de irracionalidades quadráticas em . O padrão prova deste envolve considerar o mapa de formas quadráticas binárias de discriminante para dada pela

Um cálculo mostra que é uma bijeção que respeita a ação da matriz em cada conjunto. As classes de equivalência de irracionalidades quadráticas estão então em bijeção com as classes de equivalência de formas quadráticas binárias, e Lagrange mostrou que existem finitamente muitas classes de equivalência de formas quadráticas binárias de determinado discriminante.

Por meio da bijeção , expandir um número em uma fração contínua corresponde à redução da forma quadrática. A natureza eventualmente periódica da fração contínua é então refletida na natureza eventualmente periódica da órbita de uma forma quadrática sob redução, com irracionalidades quadráticas reduzidas (aquelas com uma fração contínua puramente periódica) correspondendo a formas quadráticas reduzidas.

A raiz quadrada de não quadrada é irracional

A definição de irracionais quadráticos requer que satisfaçam duas condições: eles devem satisfazer uma equação quadrática e devem ser irracionais. As soluções para a equação quadrática ax 2  +  bx  +  c  = 0 são

Assim, os irracionais quadráticos são precisamente os números reais nesta forma que não são racionais. Como b e 2 a são inteiros, perguntar quando a quantidade acima é irracional é o mesmo que perguntar quando a raiz quadrada de um inteiro é irracional. A resposta para isso é que a raiz quadrada de qualquer número natural que não seja um número quadrado é irracional.

A raiz quadrada de 2 foi o primeiro número a se provar irracional. Teodoro de Cirene provou a irracionalidade das raízes quadradas de números naturais não quadrados até 17, mas parou aí, provavelmente porque a álgebra que ele usou não poderia ser aplicada à raiz quadrada de números maiores que 17. Elementos de Euclides, o livro 10 é dedicado à classificação de magnitudes irracionais. A prova original da irracionalidade dos números naturais não quadrados depende do lema de Euclides .

Muitas provas da irracionalidade das raízes quadradas de números naturais não quadrados assumem implicitamente o teorema fundamental da aritmética , que foi provado pela primeira vez por Carl Friedrich Gauss em seu Disquisitiones Arithmeticae . Isso afirma que cada inteiro tem uma fatoração exclusiva em primos. Para qualquer não inteiro racional em termos mais baixos, deve haver um primo no denominador que não se divide no numerador. Quando o numerador é elevado ao quadrado, esse primo ainda não se divide por causa da fatoração única. Portanto, o quadrado de um não inteiro racional é sempre um não inteiro; por contraposição , a raiz quadrada de um inteiro é sempre outro inteiro ou irracional.

Euclides usou uma versão restrita do teorema fundamental e alguns argumentos cuidadosos para provar o teorema. Sua prova está no Livro dos Elementos de Euclides X Proposição 9.

O teorema fundamental da aritmética não é realmente necessário para provar o resultado, no entanto. Existem provas independentes de Richard Dedekind , entre outros. A seguinte prova foi adaptada por Colin Richard Hughes a partir de uma prova da irracionalidade da raiz quadrada de 2 encontrada por Theodor Estermann em 1975.

Suponha que D seja um número natural não quadrado, então há um número n tal que:

n 2 < D <( n  + 1) 2 ,

então em particular

0 < D - n <1.

Suponha que a raiz quadrada de D seja um número racional p / q , suponha que q aqui seja o menor para o qual isso é verdadeiro, portanto, o menor número para o qual q D também é um inteiro. Então:

( D - n ) q D = qD - nq D

também é um número inteiro. Mas 0 <( D  -  n ) <1 então ( D  -  n ) q  <  q . Portanto, ( D  -  n ) q é um número inteiro menor que q . Isso é uma contradição, pois q foi definido como o menor número com essa propriedade; portanto, D não pode ser racional.

Veja também

Referências

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