Equações relativísticas de Euler - Relativistic Euler equations

Na mecânica dos fluidos e na astrofísica , as equações relativísticas de Euler são uma generalização das equações de Euler que explicam os efeitos da relatividade geral . Eles têm aplicações em astrofísica de alta energia e relatividade numérica , onde são comumente usados para descrever fenômenos como explosões de raios gama , fenômenos de acreção e estrelas de nêutrons , frequentemente com a adição de um campo magnético . Nota: por coerência com a literatura, este artigo faz uso de unidades naturais , a saber, a velocidade da luz e a convenção de soma de Einstein . ${\ displaystyle c = 1}$

Motivação

Para a maioria dos fluidos observáveis na Terra, a mecânica tradicional dos fluidos baseada na mecânica newtoniana é suficiente. No entanto, conforme a velocidade do fluido se aproxima da velocidade da luz ou se move através de campos gravitacionais fortes, ou a pressão se aproxima da densidade de energia ( ), essas equações não são mais válidas. Essas situações ocorrem com frequência em aplicações astrofísicas. Por exemplo, as explosões de raios gama geralmente apresentam velocidades apenas inferiores à da luz, e as estrelas de nêutrons apresentam campos gravitacionais que são mais do que vezes mais fortes do que os da Terra. Nessas circunstâncias extremas, apenas um tratamento relativístico de fluidos será suficiente. ${\ displaystyle P \ sim \ rho}$ ${\ displaystyle 0,01 \%}$ ${\ displaystyle 10 ^ {11}}$

Introdução

As equações de movimento estão contidas na equação de continuidade do tensor tensão-energia : ${\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu}}$

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} = 0,}

onde está a derivada covariante . Para um fluido perfeito , ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mu}}$

{\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} \, = (e + p) u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} + pg ^ {\ mu \ nu}.}

Aqui está a densidade total de massa-energia (incluindo massa de repouso e densidade de energia interna) do fluido, é a pressão do fluido , é a velocidade de quatro do fluido e é o tensor métrico . Às equações acima, uma declaração de conservação é geralmente adicionada, geralmente a conservação do número bárion . Se for a densidade numérica dos bárions, isso pode ser declarado ${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle u ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} (nu ^ {\ mu}) = 0.}

Essas equações se reduzem às equações de Euler clássicas se a velocidade de três do fluido for muito menor que a velocidade da luz, a pressão for muito menor que a densidade de energia e esta última for dominada pela densidade de massa de repouso. Para fechar esse sistema, uma equação de estado , como um gás ideal ou um gás de Fermi , também é adicionada.

Equações de movimento em espaço plano

No caso de espaço plano, isto é, e usando uma assinatura métrica de , as equações de movimento são, ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} = \ parcial _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle (-, +, +, +)}$

{\ displaystyle (e + p) u ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} u ^ {\ nu} = - \ parcial ^ {\ nu} pu ^ {\ nu} u ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} p}

Onde está a densidade de energia do sistema, sendo a pressão e sendo as quatro velocidades do sistema. ${\ displaystyle e = \ gamma \ rho c ^ {2} + \ rho \ epsilon}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle u ^ {\ mu} = \ gamma (1, {\ frac {\ mathbf {v}} {c}})}$

Expandindo as somas e equações, temos, (usando como derivada material ) ${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}}}$

{\ displaystyle (e + p) {\ frac {\ gamma} {c}} {\ frac {du ^ {\ mu}} {dt}} = - \ parcial ^ {\ mu} p - {\ frac {\ gama} {c}} {\ frac {dp} {dt}} u ^ {\ mu}}

Então, escolhendo observar o comportamento da própria velocidade, vemos que as equações do movimento tornam-se ${\ displaystyle u ^ {\ nu} = u ^ {i} = {\ frac {\ gamma} {c}} v_ {i}}$

{\ displaystyle (e + p) {\ frac {\ gamma} {c ^ {2}}} {\ frac {d} {dt}} (\ gamma v_ {i}) = - \ parcial _ {i} p - {\ frac {\ gamma ^ {2}} {c ^ {2}}} {\ frac {dp} {dt}} v_ {i}}

Observe que, tomando o limite não relativístico, temos . Isso significa que a energia do sistema é dominada pela energia de repouso do fluido em questão. ${\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} (e + p) = \ gamma \ rho + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ rho \ epsilon + {\ frac {1} {c ^ {2}}} p \ aprox \ rho}$

Nesse limite, temos e , e podemos ver que retornamos a Equação de Euler de . ${\ displaystyle \ gamma \ rightarrow 1}$ ${\ displaystyle c \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle \ rho {\ frac {dv_ {i}} {dt}} = - \ parcial _ {i} p}$

Derivação das Equações de Movimento

Para determinar as equações de movimento, aproveitamos a seguinte condição do tensor de projeção espacial:

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} + u _ {\ alpha} u ^ {\ nu} \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ alpha} = 0 ^ {\ nu}}

Provamos isso olhando e multiplicando cada lado por . Ao fazer isso, e notar isso , nós o fizemos . Relabeling os índices como mostra que os dois cancelar completamente. Este cancelamento é o resultado esperado da contratação de um tensor temporal com um tensor espacial. ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} + u _ {\ alpha} u ^ {\ nu} \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ alpha}}$ ${\ displaystyle u _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle u ^ {\ mu} u _ {\ mu} = - 1}$ ${\ displaystyle u _ {\ nu} \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} -u _ {\ alpha} \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ alpha}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ nu}$

Agora, quando notamos que

{\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = wu ^ {\ mu} u ^ {\ nu} + pg ^ {\ mu \ nu}}

Onde definimos isso implicitamente . ${\ displaystyle w \ equiv e + p}$

Podemos calcular isso

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} & = (\ partial _ {\ mu} w) u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} + w (\ parcial _ {\ mu} u ^ {\ mu}) u ^ {\ nu} + wu ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} u ^ {\ nu} + \ parcial ^ {\ nu} p \\\ parcial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ alpha} & = (\ partial _ {\ mu} w) u ^ {\ mu} u ^ {\ alpha} + w (\ partial _ {\ mu } u ^ {\ mu}) u ^ {\ alpha} + wu ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} u ^ {\ alpha} + \ parcial ^ {\ alpha} p \ end {alinhado}}}

E assim

{\ displaystyle u ^ {\ nu} u _ {\ alpha} \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ alpha} = (\ partial _ {\ mu} w) u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} u ^ {\ alpha} u _ {\ alpha} + w (\ parcial _ {\ mu} u ^ {\ mu}) u ^ {\ nu} u ^ {\ alpha} u _ {\ alpha} + wu ^ {\ mu} u ^ {\ nu} u _ {\ alpha} \ parcial _ {\ mu} u ^ {\ alpha} + u ^ {\ nu} u _ {\ alpha} \ parcial ^ {\ alpha} p}

Então, vamos observar o fato de que e . Observe que a segunda identidade segue da primeira. Sob essas simplificações, descobrimos que ${\ displaystyle u ^ {\ alpha} u _ {\ alpha} = - 1}$ ${\ displaystyle u ^ {\ alpha} \ partial _ {\ nu} u _ {\ alpha} = 0}$