Grupo Ree - Ree group

Em matemática, um grupo Ree é um grupo do tipo Lie sobre um campo finito construído por Ree  ( 1960 , 1961 ) a partir de um automorfismo excepcional de um diagrama Dynkin que inverte a direção das ligações múltiplas, generalizando os grupos Suzuki encontrados por Suzuki usando um método diferente. Eles foram a última das famílias infinitas de grupos simples finitos a serem descobertos.

Ao contrário dos grupos de Steinberg , os grupos de Ree não são dados pelos pontos de um grupo algébrico redutivo conectado definido sobre um corpo finito; em outras palavras, não há nenhum "grupo algébrico Ree" relacionado aos grupos Ree da mesma maneira que (digamos) grupos unitários estão relacionados aos grupos de Steinberg. No entanto, existem alguns grupos algébricos pseudo-redutivos exóticos sobre campos não perfeitos cuja construção está relacionada à construção de grupos Ree, visto que eles usam os mesmos automorfismos exóticos dos diagramas Dynkin que mudam os comprimentos das raízes.

Tits (1960) definiu grupos Ree sobre campos infinitos de características 2 e 3. Tits (1989) e Hée (1990) introduziram grupos Ree de álgebras de Kac-Moody de dimensão infinita .

Construção

Se X é um diagrama Dynkin , Chevalley construído grupos algébricas de divisão correspondente a X , em particular grupos que dão X ( F ) com valores de um campo F . Esses grupos têm os seguintes automorfismos:

  • Qualquer endomorfismo σ do campo F induz um endomorfismo α σ do grupo X ( F )
  • Qualquer automorfismo π do diagrama Dynkin induz um automorfismo α π do grupo X ( F ) .

Os grupos de Steinberg e Chevalley podem ser construídos como pontos fixos de um endomorfismo de X ( F ) para F o fechamento algébrico de um campo. Para os grupos de Chevalley, o automorfismo é o endomorfismo de Frobenius de F , enquanto para os grupos de Steinberg o automorfismo é o endomorfismo de Frobenius vezes um automorfismo do diagrama Dynkin.

Sobre os campos da característica 2 os grupos B 2 ( F ) e F 4 ( F ) e sobre os campos da característica 3 os grupos G 2 ( F ) possuem um endomorfismo cujo quadrado é o endomorfismo α φ associado ao endomorfismo de Frobenius φ do campo F . Grosso modo, esse endomorfismo α π vem do automorfismo de ordem 2 do diagrama de Dynkin, onde se ignora os comprimentos das raízes.

Suponha que o campo F tenha um endomorfismo σ cujo quadrado é o endomorfismo de Frobenius: σ 2 = φ . Então o grupo Ree é definido como o grupo de elementos g de X ( F ) tal que α π ( g ) = α σ ( g ) . Se o campo F for perfeito então α π e α φ são automorfismos, e o grupo Ree é o grupo de pontos fixos da involução α φ / α π de X ( F ) .

No caso em que F é um corpo finito de ordem p k (com p = 2 ou 3) existe um endomorfismo com quadrado o Frobenius exatamente quando k = 2 n + 1 é ímpar, caso em que é único. Portanto, isso dá os grupos Ree finitos como subgrupos de B 2 (2 2 n +1 ), F 4 (2 2 n +1 ) e G 2 (3 2 n +1 ) fixados por uma involução.

Grupos Chevalley, grupo Steinberg e grupos Ree

A relação entre grupos Chevalley, grupo Steinberg e grupos Ree é aproximadamente a seguinte. Dado um diagrama Dynkin X , Chevalley construiu um esquema de grupo sobre os inteiros Z cujos valores sobre campos finitos são os grupos de Chevalley. Em geral, podem-se tomar os pontos fixos de um endomorfismo α de X ( F ) onde F é o fechamento algébrico de um corpo finito, tal que alguma potência de α é alguma potência do endomorfismo de Frobenius φ. Os três casos são os seguintes:

  • Para grupos de Chevalley, α = φ n para algum inteiro positivo n . Nesse caso, o grupo de pontos fixos é também o grupo de pontos de X definidos sobre um corpo finito.
  • Para grupos de Steinberg, α m = φ n para alguns inteiros positivos m , n com m dividindo n e m > 1. Neste caso, o grupo de pontos fixos é também o grupo de pontos de uma forma torcida (quasisplit) de X definida sobre um campo finito.
  • Para grupos Ree, α m = φ n para alguns inteiros positivos m , n com m não dividindo n . Na prática, m = 2 en é ímpar. Grupos Ree não são dados como pontos de algum grupo algébrico conectado com valores em um campo. eles são os pontos fixos de um automorfismo de ordem m = 2 de um grupo definido sobre um campo de ordem p n com n ímpar, e não há campo correspondente de ordem p n / 2 (embora alguns autores gostem de fingir que existe em seus notação para os grupos).

Grupos Ree do tipo 2 B 2

Artigo principal: grupos Suzuki

Os grupos Ree do tipo 2 B 2 foram encontrados pela primeira vez por Suzuki (1960) usando um método diferente e são geralmente chamados de grupos Suzuki . Ree percebeu que eles poderiam ser construídos a partir dos grupos do tipo B 2 usando uma variação da construção de Steinberg (1959) . Ree percebeu que uma construção semelhante poderia ser aplicada aos diagramas Dynkin F 4 e G 2 , levando a duas novas famílias de grupos simples finitos.

Grupos Ree do tipo 2 G 2

Os grupos Ree do tipo 2 G 2 (3 2 n +1 ) foram introduzidos por Ree (1960) , que mostrou que são todos simples, exceto o primeiro 2 G 2 (3), que é isomórfico ao grupo automorfismo de SL 2 (8) . Wilson (2010) deu uma construção simplificada dos grupos Ree, como os automorfismos de um espaço vetorial 7-dimensional sobre o campo com 3 2 n +1 elementos preservando uma forma bilinear, uma forma trilinear e um produto bilinear.

O grupo Ree tem ordem q 3 ( q 3 + 1) ( q - 1) onde q = 3 2 n +1

O multiplicador de Schur é trivial para n  ≥ 1 e para 2 G 2 (3) ′.

O grupo de automorfismo externo é cíclico de ordem 2 n  + 1.

O grupo Ree também é ocasionalmente denotado por Ree ( q ), R ( q ) ou E 2 * ( q )

O grupo Ree 2 G 2 ( q ) tem uma representação de permutação duplamente transitiva em q 3 + 1 pontos, e mais precisamente atua como automorfismos de um sistema de Steiner S (2, q +1, q 3 +1) . Ele também atua em um espaço vetorial de 7 dimensões sobre o campo com q elementos, pois é um subgrupo de G 2 ( q ).

Os subgrupos de 2 sylow dos grupos Ree são abelianos elementares de ordem 8. O teorema de Walter mostra que os únicos outros grupos simples finitos não abelianos com 2 subgrupos abelianos de Sylow são os grupos lineares especiais projetivos na dimensão 2 e o grupo Janko J1 . Esses grupos também desempenharam um papel na descoberta do primeiro grupo esporádico moderno. Eles têm centralizadores de involução da forma Z / 2 Z × PSL 2 ( q ) , e investigando grupos com um centralizador de involução da forma semelhante Z / 2 Z × PSL 2 (5) Janko encontrou o grupo esporádico  J 1 . Kleidman (1988) determinou seus subgrupos máximos.

Os grupos Ree do tipo 2 G 2 são excepcionalmente difíceis de caracterizar. Thompson ( 1967 , 1972 , 1977 ) estudou este problema, e foi capaz de mostrar que a estrutura de tal grupo é determinada por um certo automorfismo σ de um campo finito de característica 3, e que se o quadrado desse automorfismo é o Frobenius automorfismo, então o grupo é o grupo Ree. Ele também deu algumas condições complicadas satisfeitas pelo automorfismo σ . Finalmente, Bombieri ( 1980 ) usou a teoria da eliminação para mostrar que as condições de Thompson implicavam que σ 2 = 3 em todos os casos, exceto 178 pequenos, que foram eliminados usando um computador por Odlyzko e Hunt. Bombieri descobriu esse problema após ler um artigo sobre a classificação de Gorenstein (1979) , que sugeriu que alguém de fora da teoria dos grupos poderia ajudar a resolvê-lo. Enguehard (1986) deu um relato unificado da solução desse problema por Thompson e Bombieri.

Grupos Ree do tipo 2 F 4

Os grupos Ree do tipo 2 F 4 (2 2 n +1 ) foram introduzidos por Ree (1961) . Eles são simples, exceto para o primeiro 2 F 4 (2) , que Tits (1964) mostrou ter um subgrupo simples de índice 2, agora conhecido como grupo de Tits . Wilson (2010b) deu uma construção simplificada dos grupos Ree como as simetrias de um espaço de 26 dimensões sobre o campo de ordem 2 2 n +1 preservando uma forma quadrática, uma forma cúbica e uma multiplicação parcial.

O grupo Ree 2 F 4 (2 2 n +1 ) tem ordem q 12 ( q 6  + 1) ( q 4  - 1) ( q 3  + 1) ( q  - 1) onde q = 2 2 n +1 . O multiplicador de Schur é trivial. O grupo de automorfismo externo é cíclico de ordem 2 n  + 1.

Esses grupos Ree têm a propriedade incomum de que o grupo Coxeter de seu par BN não é cristalográfico: é o grupo diédrico de ordem 16. Tits (1983) mostrou que todos os octógonos de Moufang vêm de grupos Ree do tipo 2 F 4 .

Veja também

Referências

links externos