Matriz persimétrica - Persymmetric matrix

Em matemática , a matriz persimétrica pode se referir a:

1. uma matriz quadrada que é simétrica em relação à diagonal de nordeste a sudoeste; ou
2. uma matriz quadrada de forma que os valores em cada linha perpendicular à diagonal principal sejam os mesmos para uma determinada linha.

A primeira definição é a mais comum na literatura recente. A designação " matriz de Hankel " é freqüentemente usada para matrizes que satisfazem a propriedade da segunda definição.

Definição 1

Padrão de simetria de uma matriz persimétrica 5 × 5

Deixe Um = ( um _{j i} ) ser um n  ×  n matriz. A primeira definição de persimétrica requer que

${\ displaystyle a_ {ij} = a_ {n-j + 1, n-i + 1}}$para todos os i , j .

Por exemplo, matrizes persimétricas 5 × 5 são da forma

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} & a_ {15} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} & a_ {14} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} & a_ {23} & a_ {13} \\ a_ {41} & a_ {42} & a_ {32} & a_ {22} & a_ {12} \\ a_ {51} & a_ {41} & a_ {31} & a_ {21} & a_ {11} \ end {bmatrix}}.}$

Isso pode ser expresso de forma equivalente como AJ = JA ^T, onde J é a matriz de troca .

Uma matriz simétrica é uma matriz cujos valores são simétricos na diagonal noroeste-sudeste. Se uma matriz simétrica é girada em 90 °, ela se torna uma matriz assimétrica. Matrizes persymmetric simétricas às vezes são chamados matrizes bisymmetric .

Definição 2

A segunda definição é devida a Thomas Muir . Diz que a matriz quadrada A = ( a _{i j} ) é assimétrica se a _{i j} depende apenas de i + j . As matrizes persimétricas neste sentido, ou matrizes de Hankel como são frequentemente chamadas, são da forma

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} r_ {1} & r_ {2} & r_ {3} & \ cdots & r_ {n} \\ r_ {2} & r_ {3} & r_ {4} & \ cdots & r_ {n +1} \\ r_ {3} & r_ {4} & r_ {5} & \ cdots & r_ {n + 2} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ r_ {n} & r_ { n + 1} & r_ {n + 2} & \ cdots & r_ {2n-1} \ end {bmatrix}}.}$

Um determinante persimétrico é o determinante de uma matriz persimétrica.

Uma matriz para a qual os valores em cada linha paralela à diagonal principal são constantes é chamada de matriz de Toeplitz .

Veja também

• Matriz centrossimétrica

Referências