Na casca e fora da casca - On shell and off shell

Na física , particularmente na teoria quântica de campos , as configurações de um sistema físico que satisfazem as equações clássicas de movimento são chamadas de "na camada de massa" ou simplesmente mais frequentemente na camada ; enquanto aqueles que não o fazem são chamados de "fora da casca da massa" ou fora da casca .

Na teoria quântica de campos, as partículas virtuais são denominadas fora da casca porque não satisfazem a relação energia-momento ; as partículas de troca real satisfazem essa relação e são denominadas em casca (casca de massa). Na mecânica clássica, por exemplo, na formulação da ação , as soluções extremas para o princípio variacional estão no shell e as equações de Euler-Lagrange fornecem as equações no shell. O teorema de Noether sobre simetrias diferenciáveis ​​de ação física e leis de conservação é outro teorema on-shell.

Concha em massa

Pontos na superfície hiperbolóide (a "casca") são soluções para a equação.

Casca de massa é um sinônimo de hiperbolóide de massa , significando o hiperbolóide em energia - espaço de momento que descreve as soluções para a equação:

${\ displaystyle E ^ {2} - | {\ vec {p}} \, | ^ {2} c ^ {2} = m_ {0} ^ {2} c ^ {4}}$,

a fórmula de equivalência massa-energia que fornece a energia em termos de momento e a massa restante de uma partícula. A equação para a camada de massa também é freqüentemente escrita em termos de quatro momentos ; em notação de Einstein com assinatura métrica (+, -, -, -) e unidades onde a velocidade da luz , como . Na literatura, também se pode encontrar se a assinatura métrica usada é (-, +, +, +). ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ vec {p}}}$ ${\ displaystyle m_ {0}}$ ${\ displaystyle c = 1}$${\ displaystyle p ^ {\ mu} p _ {\ mu} \ equiv p ^ {2} = m ^ {2}}$${\ displaystyle p ^ {\ mu} p _ {\ mu} = - m ^ {2}}$

O quatro-momento de uma partícula virtual trocada é , com massa . O quatro momentos da partícula virtual é a diferença entre os quatro momentos das partículas que entram e saem. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle q _ {\ mu}}$${\ displaystyle q ^ {2} = m_ {X} ^ {2}}$${\ displaystyle q _ {\ mu}}$

Partículas virtuais correspondentes a propagadores internos em um diagrama de Feynman podem, em geral, estar fora da casca, mas a amplitude do processo diminuirá dependendo de quão longe elas estão. Isso ocorre porque a dependência do propagador é determinada pelos quatro momentos das partículas que entram e saem. O propagador normalmente tem singularidades na camada de massa. ${\ displaystyle q ^ {2}}$

Ao falar do propagador, os valores negativos para que satisfaçam a equação são considerados como sendo uma casca, embora a teoria clássica não permita valores negativos para a energia de uma partícula. Isso ocorre porque o propagador incorpora em uma expressão os casos em que a partícula transporta energia em uma direção e em que sua antipartícula transporta energia na outra direção; negativo e positivo on-shell simplesmente representam fluxos opostos de energia positiva. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$

Campo escalar

Um exemplo vem de considerar um campo escalar no espaço de Minkowski D- dimensional . Considere uma densidade Lagrangiana dada por . A ação${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ phi, \ partial _ {\ mu} \ phi)}$

${\ displaystyle S = \ int d ^ {D} x {\ mathcal {L}} (\ phi, \ partial _ {\ mu} \ phi)}$

A equação de Euler-Lagrange para esta ação pode ser encontrada variando o campo e sua derivada e definindo a variação para zero , e é:

${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ phi)}} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ phi}}}$

Agora, considere uma tradução do espaço-tempo infinitesimal . A densidade Lagrangiana é escalar e, portanto, se transformará infinitesimalmente como na transformação infinitesimal. Por outro lado, pela expansão de Taylor , temos em geral ${\ displaystyle x ^ {\ mu} \ rightarrow x ^ {\ mu} + \ alpha ^ {\ mu}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} = \ alpha ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} {\ mathcal {L}}}$

${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} \ delta \ phi + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L }}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ phi)}} \ delta (\ parcial _ {\ mu} \ phi)}$

Substituindo e observando isso (uma vez que as variações são independentes em cada ponto no espaço-tempo): ${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle \ delta (\ partial _ {\ mu} \ phi) = \ partial _ {\ mu} (\ delta \ phi)}$

${\ displaystyle \ alpha ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} \ alpha ^ { \ mu} \ partial _ {\ mu} \ phi + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ alpha ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} \ parcial _ {\ nu} \ phi}$

Uma vez que isso deve ser válido para traduções independentes , podemos "dividir" por e escrever: ${\ displaystyle \ alpha ^ {\ mu} = (\ epsilon, 0, ..., 0), (0, \ epsilon, ..., 0), ...}$${\ displaystyle \ alpha ^ {\ mu}}$

${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} \ partial _ {\ mu} \ phi + { \ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ nu} \ phi)}} \ parcial _ {\ mu} \ parcial _ {\ nu} \ phi}$

Este é um exemplo de equação que se mantém fora da casca , uma vez que é verdadeira para qualquer configuração de campos, independentemente de respeitar as equações de movimento (neste caso, a equação de Euler-Lagrange dada acima). No entanto, podemos derivar uma equação on shell simplesmente substituindo a equação de Euler-Lagrange:

${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = \ partial _ {\ nu} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ parcial _ {\ mu} \ phi + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ nu} \ phi)}} \ parcial _ {\ mu} \ parcial _ {\ nu} \ phi}$

Podemos escrever isso como:

${\ displaystyle \ partial _ {\ nu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ partial _ {\ mu} \ phi - \ delta _ {\ mu} ^ {\ nu} {\ mathcal {L}} \ right) = 0}$

E se definirmos a quantidade entre parênteses como , temos: ${\ displaystyle T ^ {\ nu} {} _ {\ mu}}$

${\ displaystyle \ partial _ {\ nu} T ^ {\ nu} {} _ {\ mu} = 0}$

Este é um exemplo do teorema de Noether. Aqui, a quantidade conservada é o tensor tensão-energia , que só é conservado na casca, isto é, se as equações do movimento forem satisfeitas.

Referências