Teoria O-minimal - O-minimal theory
Na lógica matemática , e mais especificamente na teoria do modelo , uma estrutura infinita ( M , <, ...) que é totalmente ordenada por <é chamada de estrutura o-mínima se e somente se cada subconjunto definível X ⊂ M (com parâmetros tomados de M ) é uma união finita de intervalos e pontos.
A O-minimalidade pode ser considerada uma forma fraca de eliminação do quantificador . A estrutura M é o-mínima, se e apenas se a cada fórmula com uma variável livre e parâmetros em H é equivalente a uma fórmula sem quantificador envolvendo apenas a encomenda, também com parâmetros em H . Isso é análogo às estruturas mínimas , que são exatamente a propriedade análoga da igualdade.
Uma teoria T é uma teoria o-mínima se todo modelo de T é o-mínimo. É sabido que a teoria completa T de uma estrutura o-mínima é uma teoria o-mínima. Esse resultado é notável porque, em contraste, a teoria completa de uma estrutura mínima não precisa ser uma teoria fortemente mínima , ou seja, pode haver uma estrutura elementarmente equivalente que não seja mínima.
Definição teórica de conjunto
Estruturas O-mínimas podem ser definidas sem recurso à teoria do modelo. Aqui definimos uma estrutura em um conjunto não vazio M de uma maneira teórica de conjuntos, como uma sequência S = ( S n ), n = 0,1,2, ... tal que
- S n é uma álgebra booleana de subconjuntos de M n
- se A ∈ S n então M × A e A × M estão em S n +1
- o conjunto {( x 1 , ..., x n ) ∈ M n : x 1 = x n } está em S n
- se A ∈ S n +1 e π : M n +1 → M n é o mapa de projeção nas primeiras n coordenadas, então π ( A ) ∈ S n .
Se M tem uma ordem linear densa sem pontos finais, digamos <, então uma estrutura S em M é chamada de o-mínimo se ela satisfaz os axiomas extras
- o conjunto {( x , y ) ∈ M 2 : x < y } está em S 2
- os conjuntos em S 1 são precisamente as uniões finitas de intervalos e pontos.
O "o" significa "ordem", uma vez que qualquer estrutura o-mínima requer uma ordenação no conjunto subjacente.
Definição teórica do modelo
Estruturas O-minimal originadas na teoria do modelo e, portanto, têm uma definição mais simples - mas equivalente - usando a linguagem da teoria do modelo. Especificamente se L é uma linguagem incluindo uma relação binária <, e ( M , <, ...) é uma estrutura L onde <é interpretado para satisfazer os axiomas de uma ordem linear densa, então ( M , <, ... ) é chamada de estrutura o-mínima se para qualquer conjunto definível X ⊆ M houver finitamente muitos intervalos abertos I 1 , ..., I r sem pontos finais em M ∪ {± ∞} e um conjunto finito X 0 tal que
Exemplos
Exemplos de teorias o-minimal são:
- A teoria completa de ordens lineares densas na linguagem com apenas a ordenação.
- RCF, a teoria dos campos fechados reais .
- A teoria completa do campo real com funções analíticas restritas adicionadas (ou seja, funções analíticas em uma vizinhança de [0,1] n , restrita a [0,1] n ; observe que a função seno irrestrita tem infinitas raízes e, portanto, não pode ser definível em uma estrutura o-mínima.)
- A teoria completa do campo real com um símbolo para a função exponencial pelo teorema de Wilkie . De maneira mais geral, a teoria completa dos números reais com funções Pfaffianas adicionadas.
- Os dois últimos exemplos podem ser combinados: dada qualquer expansão o-mínima do campo real (como o campo real com funções analíticas restritas), pode-se definir seu fechamento Pfaffiano, que é novamente uma estrutura o-mínima. (O fechamento Pfaffiano de uma estrutura é, em particular, fechado sob cadeias Pfaffianas onde funções definíveis arbitrárias são usadas no lugar de polinômios.)
No caso de RCF, os conjuntos definíveis são os conjuntos semialgébricos . Assim, o estudo de teorias e estruturas o-mínimas generaliza a geometria algébrica real . Uma linha principal de pesquisa atual é baseada na descoberta de expansões do campo real ordenado que são o-mínimas. Apesar da generalidade da aplicação, pode-se mostrar muito sobre a geometria de conjuntos definíveis em estruturas o-mínimas. Existe um teorema de decomposição celular, teoremas de estratificação de Whitney e Verdier e uma boa noção de dimensão e característica de Euler.
Veja também
- Conjunto semi-algébrico
- Geometria algébrica real
- Teoria fortemente mínima
- Estrutura fracamente o-mínima
- Teoria C-minimal
Notas
Referências
- Van den Dries, Lou (1998). Topologia Tame e Estruturas o-minimal . Série de notas de aula da London Mathematical Society. 248 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-59838-5. Zbl 0953.03045 .
- Marker, David (2000). "Revisão de "Tame Topologia e Estruturas S-minimal " " (PDF) . Boletim da American Mathematical Society . 37 (3): 351–357. doi : 10.1090 / S0273-0979 Budap866-1 .
- Marker, David (2002). Teoria do modelo: uma introdução . Textos de Pós-Graduação em Matemática. 217 . New York, NY: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98760-6. Zbl 1003.03034 .
- Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1986). "Conjuntos definíveis em estruturas ordenadas I" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 295 (2): 565–592. doi : 10.2307 / 2000052 . JSTOR 2000052 . Zbl 0662.03023 .
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