Teoria completa - Complete theory

Na lógica matemática , uma teoria está completa se, para cada fórmula fechada na linguagem da teoria, essa fórmula ou sua negação for demonstrável. Teorias de primeira ordem axiomatizáveis ​​recursivamente que são consistentes e ricas o suficiente para permitir que o raciocínio matemático geral seja formulado não podem ser completas, como demonstrado pelo primeiro teorema da incompletude de Gödel .

Este sentido de completo é distinto da noção de uma lógica completa , que afirma que para cada teoria que pode ser formulada na lógica, todas as declarações semanticamente válidas são teoremas prováveis ​​(para um sentido apropriado de "semanticamente válido"). O teorema da completude de Gödel é sobre este último tipo de completude.

Teorias completas são fechadas sob uma série de condições, modelando internamente o esquema T :

• Para um conjunto de fórmulas : se e somente se e ,${\ displaystyle S}$${\ displaystyle A \ land B \ in S}$${\ displaystyle A \ in S}$${\ displaystyle B \ in S}$
• Para um conjunto de fórmulas : se e somente se ou .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle A \ lor B \ in S}$${\ displaystyle A \ in S}$${\ displaystyle B \ in S}$

Conjuntos consistentes máximos são uma ferramenta fundamental na teoria do modelo de lógica clássica e lógica modal . Sua existência em um determinado caso é geralmente uma consequência direta do lema de Zorn , baseado na ideia de que uma contradição envolve o uso de apenas um número finito de premissas. No caso da lógica modal, a coleção de conjuntos consistentes máximos estendendo uma teoria T (fechada pela regra de necessidade) pode receber a estrutura de um modelo de T , denominado modelo canônico.

Exemplos

Alguns exemplos de teorias completas são:

• Aritmética Presburger
• Axiomas de Tarski para geometria euclidiana
• A teoria das ordens lineares densas sem pontos finais
• A teoria dos campos algébricamente fechados de uma determinada característica
• A teoria dos campos fechados reais
• Cada teoria contável incontável categórica
• Cada teoria contável contável categórica
• Um grupo de três elementos

Veja também

• Lema de Lindenbaum
• Teste Łoś – Vaught

Referências

• Mendelson, Elliott (1997). Introdução à Lógica Matemática (Quarta ed.). Chapman & Hall. p. 86. ISBN 978-0-412-80830-2.

Este artigo relacionado à lógica matemática é um esboço . Você pode ajudar a Wikipedia expandindo-a . v t e