Problema de momento - Moment problem

Exemplo: Dadas a média e a variância (bem como todos os outros cumulantes iguais a 0), a distribuição normal é a distribuição que resolve o problema do momento. ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

Em matemática , um problema de momento surge como resultado da tentativa de inverter o mapeamento que leva uma medida μ para as sequências de momentos

${\ displaystyle m_ {n} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {n} \, d \ mu (x) \ ,.}$

Mais geralmente, pode-se considerar

${\ displaystyle m_ {n} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} M_ {n} (x) \, d \ mu (x) \ ,.}$

para uma sequência arbitrária de funções M _n .

Introdução

No cenário clássico, μ é uma medida na reta real e M é a sequência { x ⁿ  : n = 0, 1, 2, ...}. Nesta forma, a questão aparece na teoria da probabilidade , perguntando se existe uma medida de probabilidade com média especificada , variância e assim por diante, e se ela é única.

Existem três problemas de momento clássicos denominados: o problema do momento Hamburger em que o suporte de μ pode ser toda a linha real; o problema do momento Stieltjes , para [0, + ∞); e o problema do momento de Hausdorff para um intervalo limitado, que sem perda de generalidade pode ser considerado como [0, 1].

Existência

Uma sequência de números m _n é a sequência de momentos de uma medida µ se e somente se uma certa condição de positividade for satisfeita; a saber, as matrizes Hankel H _n ,

${\ displaystyle (H_ {n}) _ {ij} = m_ {i + j} \ ,,}$

deve ser semi-definido positivo . Isso ocorre porque uma matriz de Hankel semidefinida positiva corresponde a um funcional linear tal que e (não negativo para soma de quadrados de polinômios). Suponha que pode ser estendido para . No caso univariado, um polinômio não negativo sempre pode ser escrito como uma soma de quadrados. Portanto, o funcional linear é positivo para todos os polinômios não negativos no caso univariado. Pelo teorema de Haviland, o funcional linear tem uma forma de medida, isto é . Uma condição de forma semelhante é necessária e suficiente para a existência de uma medida apoiada em um determinado intervalo [ a ,  b ]. ${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ Lambda (x ^ {n}) = m_ {n}}$${\ displaystyle \ Lambda (f ^ {2}) \ geq 0}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ mathbb {R} [x] ^ {*}}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ Lambda (x ^ {n}) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {n} d \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$

Uma maneira de provar esses resultados é considerar o funcional linear que envia um polinômio ${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle P (x) = \ sum _ {k} a_ {k} x ^ {k}}$

para

${\ displaystyle \ sum _ {k} a_ {k} m_ {k}.}$

Se m _kn são os momentos de alguma medida μ apoiada em [ a ,  b ], então, evidentemente

${\ displaystyle \ varphi (P) \ geq 0}$ para qualquer polinômio P que não seja negativo em [ a ,  b ].

( 1 )

Vice-versa, se ( 1 ) for válido, pode-se aplicar o teorema de extensão de M. Riesz e estender a um funcional no espaço de funções contínuas com suporte compacto C ₀ ([ a ,  b ]), de modo que ${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle \ varphi (f) \ geq 0}$ para qualquer ${\ displaystyle f \ in C_ {0} ([a, b]), \; f \ geq 0.}$

( 2 )

Pelo teorema da representação de Riesz , ( 2 ) é válido se existe uma medida μ suportada em [ a ,  b ], tal que

${\ displaystyle \ varphi (f) = \ int f \, d \ mu}$

para cada ƒ  ∈  C ₀ ([ a ,  b ]).

Assim, a existência da medida é equivalente a ( 1 ). Usando um teorema de representação para polinômios positivos em [ a ,  b ], pode-se reformular ( 1 ) como uma condição em matrizes de Hankel . ${\ displaystyle \ mu}$

Veja Shohat & Tamarkin 1943 e Kerin & Nudelman 1977 para mais detalhes.

Singularidade (ou determinação)

A unicidade de μ no problema do momento de Hausdorff segue do teorema de aproximação de Weierstrass , que afirma que os polinômios são densos sob a norma uniforme no espaço de funções contínuas em [0, 1]. Para o problema em um intervalo infinito, a exclusividade é uma questão mais delicada; ver a condição de Carleman , a condição de Kerin e Akhiezer (1965) .

Variações

Uma variação importante é o problema do momento truncado , que estuda as propriedades de medidas com primeiros k momentos fixos (para um k finito ). Os resultados do problema do momento truncado têm inúmeras aplicações em problemas extremos , teoremas de otimização e limite na teoria da probabilidade . Veja também: Desigualdades de Chebyshev – Markov – Stieltjes e Kerin & Nudelman 1977 .

Veja também

• Problema do momento Stieltjes
• Problema do momento do hambúrguer
• Problema do momento Hausdorff
• Momento (matemática)
• Condição de Carleman
• Matriz de Hankel

Referências

• Shohat, James Alexander; Tamarkin, Jacob D. (1943). O problema dos momentos . Nova York: sociedade matemática americana.
• Akhiezer, Naum I. (1965). O problema do momento clássico e algumas questões relacionadas na análise . Nova York: Hafner Publishing Co. (traduzido do russo por N. Kemmer)
• Kerin, MG; Nudelman, AA (1977). O problema do momento Markov e os problemas extremos. Ideias e problemas de PL Chebyshev e AA Markov e seu desenvolvimento posterior . Translations of Mathematical Monographs, vol. 50. American Mathematical Society, Providence, RI (Traduzido do russo por D. Louvish)
• Schmüdgen, Konrad (2017). O problema do momento . Springer International Publishing.