equação de diferença Matrix - Matrix difference equation

Uma equação de diferença de matriz é uma equação de diferença em que o valor de um vector (ou, por vezes, uma matriz) de variáveis em um ponto no tempo é relacionada com o seu próprio valor em um ou mais pontos no tempo anteriores, utilizando as matrizes . A fim da equação é a diferença máxima de tempo entre quaisquer dois dos valores indicados do vector variável. Por exemplo,

${\ X_ displaystyle {t} = Ax_ {t-1} + Bx_ {t-2}}$

é um exemplo de uma equação de diferença de matriz de segunda ordem, em que x é um N × um vector de variáveis e A e B são nxn matrizes. Esta equação é homogénea, pois não há constante termo vector adicionada ao final da equação. A mesma equação também pode ser escrita como

${\ X_ displaystyle {t + 2} = {Ax_ t + 1} + Bx_ {t}}$

ou como

${\ Displaystyle x_ {n} = Ax_ {n-1} + Bx_ {n-2}}$.

As equações de diferenças de matriz mais comumente encontrados são de primeira ordem.

Não homogênea caso de primeira ordem eo estado estacionário

Um exemplo de uma equação de diferença de matriz de primeira ordem não homogénea é

${\ X_ displaystyle {t} = Ax_ {t-1} + b}$

com aditivo constante vector b . O estado de equilíbrio deste sistema é um valor x * do vector x que, se alcançado, não seria desviado posteriormente. x * é encontrado através da definição na equação de diferença e resolvendo para x * para obter ${\ X_ displaystyle {t} = x_ {t-1} = x ^ {*}}$

${\ Displaystyle x ^ {*} = [IA] ^ {- 1} b}$

onde representa a nxn matriz de identidade , e em que é assumido que é invertível. Então a equação não homogênea pode ser reescrito de forma homogênea em termos de desvios do estado estacionário: ${\ Displaystyle I}$ ${\ Displaystyle [IA]}$

${\ Displaystyle [x_ {t} -x ^ {*}] = A [x_ {t-1} -x ^ {*}].}$

Estabilidade do processo de primeira ordem

A equação de diferença de matriz de primeira ordem [ x _t - x *] = A [ x _{t -1} - x *] é estável , isto é, converge assintoticamente para o estado estacionário x * -se e só se todos os valores próprios da matriz de transição A (real ou complexa) têm um valor absoluto que é inferior a 1. ${\ Displaystyle x_ {t}}$

Solução do processo de primeira ordem

Suponha que a equação foi colocada na forma homogênea . Em seguida, pode substituir iterar e repetidamente a partir da condição inicial , que é o valor inicial do vector y e que deve ser conhecida de modo a encontrar a solução: ${\ Displaystyle Y_ {t} = Ay_ {t-1}}$ ${\ Displaystyle Y_ {0}}$

${\ Displaystyle Y_ {1} = Ay_ {0},}$

${\ Displaystyle Y_ {2} = Ay_ {1} = AAy_ {0} = A ^ {2} Y_ {0},}$

${\ Displaystyle Y_ {3} = Ay_ {2} = AA ^ {2} Y_ {0} = A ^ {3} Y_ {0},}$

e assim por diante, de modo que por indução matemática da solução em termos de t é

${\ Displaystyle Y_ {t} = A ^ {t} Y_ {0}.}$

Além disso, se A é diagonalizável, podemos reescrever A em termos de seus valores e vectores próprios, dando a solução como

${\ Displaystyle Y_ {t} = PD ^ {t} P ^ {- 1} Y_ {0},}$

onde P é uma N × n matriz cujas colunas são os vectores próprios de A (assumindo que os valores próprios são todos distintos) e D é um n × n matriz diagonal cujos elementos diagonais são os valores próprios de uma . Esta solução motiva o resultado estabilidade acima: encolhe para a matriz de zero ao longo do tempo, se e somente se os valores próprios de A são todos menos de unidade em valor absoluto. ${\ Displaystyle A ^ {t}}$

Extraindo a dinâmica de uma única variável escalar a partir de um sistema de matriz de primeira ordem

A partir do n sistema dimensional , podemos extrair a dinâmica de uma das variáveis de estado, dizem A equação solução acima para mostra que a solução para é em termos dos n valores próprios de A . Portanto, a equação que descreve a evolução de , por si só deve ter uma solução envolvendo esses mesmos valores próprios. Esta descrição intuitivamente motiva a equação da evolução do que é ${\ Displaystyle Y_ {t} = Ay_ {t-1},}$${\ Displaystyle Y_ {1}.}$${\ Displaystyle Y_ {t}}$${\ Displaystyle Y_ {1, t}}$${\ Displaystyle Y_ {1}}$${\ Displaystyle Y_ {1},}$

${\ Displaystyle Y_ {1, t} = a_ {1} Y_ {1, t-1} + A_ {2} Y_ {1, t-2} + \ pontos + a_ {n} Y_ {1, TN}}$

em que os parâmetros são a partir da equação característica da matriz A : ${\ Displaystyle a_ {i}}$

${\ Displaystyle \ lambda ^ {n} -a_ {1} \ lambda ^ {n-1} -a_ {2} \ lambda ^ {n-2} - \ pontos -a_ {n} \ lambda ^ {0} = 0.}$

Assim, cada variável escalar individual de um n sistema linear -dimensional de primeira ordem evolui de acordo com uma uni n ^th equação de diferença de grau, o que tem a mesma propriedade de estabilidade (estável ou instável), assim como a equação de diferença da matriz.

Solução e estabilidade de casos de alta ordem

equações de diferenças matriz de ordem mais elevada, isto é, com um intervalo de tempo mais longo do que um período de pode ser resolvido, e a sua estabilidade analisados, convertendo-os em forma de primeira ordem usando uma matriz de bloco. Por exemplo, suponha que temos a equação de segunda ordem

${\ X_ displaystyle {t} = Ax_ {t-1} + Bx_ {t-2}}$

com a variável vetor x sendo n x 1 e A e B sendo n x n . Isto pode ser empilhado sob a forma

${\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} x_ {t} \\ x_ {t-1} \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ text {A}} e {\ text {B} } \\ {\ text {I}} & 0 \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x_ {t-1} \\ x_ {t-2} \ end {pmatrix}},}$

onde representa a n x n matriz de identidade e 0 é o n x n matriz nula . Em seguida, denotando a 2 N × 1 empilhados vector de variáveis correntes e uma vez como desfasados e a 2 N × 2 n matriz de bloco como G , que tem como antes a solução ${\ Displaystyle I}$ ${\ Displaystyle Z_ {t}}$

${\ Displaystyle z_ {t} = ^ L {T} z_ {0}.}$

Além disso, como antes, esta equação empilhada e, assim, a equação de segunda ordem original são estáveis se e só se todos os valores próprios da matriz G são menores do que a unidade, em valor absoluto.

equações de diferenças de matriz não-linear: equações Riccati

Em controle linear-quadrático-Gauss , daí resulta uma equação de matriz não-linear para a evolução inversa de um-e-futuro custo corrente da matriz , designado a seguir como H . Esta equação é chamado uma dinâmica discreta equação Riccati , e ela surge quando um vector variável evoluir de acordo com uma equação de diferença de matriz linear é controlada através da manipulação de um exógeno vector de modo a optimizar um quadrática função de custo . Esta equação assume Riccati que se segue, ou um semelhante, forma:

${\ Displaystyle H_ {t-1} = K + A'H_ {T} A-A'H_ {t} C (C'H_ {t} + C R) ^ {- 1} C'H_ {t} Um ,}$

onde H , K , e A são n x n , C é n × k , R é k x k , n é o número de elementos no vector a ser controlado, e k é o número de elementos no vector de controlo. As matrizes de parâmetros A e C são a partir da equação linear, e o parâmetro de matrizes de K e R são a partir da função de custo quadrática. Veja aqui para mais detalhes.

Em geral esta equação não pode ser resolvido analiticamente para em termos de t  ; em vez disso, a sequência de valores para se encontra por iteração a equação Riccati. No entanto, foi demonstrado em que esta equação pode ser resolvida Riccati analiticamente, se R é a matriz de zero e n = k 1, reduzindo-a a um escalar equação de diferença racional ; Além disso, para qualquer k e n se a matriz de transição de A é não singular, em seguida, a equação pode ser resolvida Riccati analiticamente em termos dos valores próprios de uma matriz, embora estes podem precisar de ser encontrado numericamente.${\ Displaystyle H_ {t}}$${\ Displaystyle H_ {t}}$

Na maior parte dos contextos, a evolução de H para trás ao longo do tempo é estável, o que significa que H converge para um determinado fixo matriz H * o qual pode ser irracional, mesmo que todas as outras matrizes são racionais. Veja também o controle # tempo discreto Stochastic .

A equação de Riccati relacionado é

${\ Displaystyle X_ {t + 1} = - (E + BX_ {t}) (C + AX_ {t}) ^ {- 1}}$

em que as matrizes X , A , B , C , e E são todos n x n . Esta equação pode ser resolvida de forma explícita. Suponhamos , que certamente possui o para t = 0 com N ₀ = X ₀ e com D ₀ igual a matriz identidade. Em seguida, utilizando este nos rendimentos equação de diferença ${\ Displaystyle X_ {t} = N_ {t} D_ {t} ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle X_ {t + 1} = - (E + BN_ {t} D_ {T} ^ {- 1}) D_ {t} D_ {T} ^ {- 1} (C + AN_ {t} D_ { t} ^ {- 1}) ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle = - (ED_ {t} + BN_ {t}) [(C + AN_ {t} D_ {T} ^ {- 1}) D_ {T}] ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle = - (ED_ {t} + BN_ {t}) [CD_ {t} + AN_ {T}] ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle = N_ {t + 1} D_ {t + 1} ^ {- 1},}$

assim por indução a forma vale para todo t . Em seguida, a evolução de N e D pode ser escrito como ${\ Displaystyle X_ {t} = N_ {t} D_ {t} ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle {\ {começar pmatrix} N_ {t + 1} \\ {D_ t + 1} \ final {pmatrix}} = {\ {começar pmatrix} -B & -E \\ A & C \ final {} {} pmatrix \ begin {pmatrix} N_ {t} \\ D_ {t} \ final {pmatrix}} \ equiv J {\ {começar pmatrix} N_ {t} \\ D_ {t} \ final {pmatrix}}.}$

portanto

${\ Displaystyle {\ {começar pmatrix} N_ {t} \\ D_ {t} \ final {pmatrix}} = J ^ {t} {\ {começar pmatrix} N_ {0} \\ D_ {0} \ final { pmatrix}}.}$

Veja também

• equação diferencial Matrix
• equação de diferença
• equação de diferenças linear
• sistema dinâmico
• Matrix Riccati equação # Descrição matemática do problema e solução

Referências