Escalar de Kretschmann - Kretschmann scalar

Na teoria das variedades Lorentzianas , particularmente no contexto de aplicações à relatividade geral , o escalar de Kretschmann é um invariante escalar quadrático . Foi apresentado por Erich Kretschmann .

Definição

O invariante de Kretschmann é

${\ displaystyle K = R_ {abcd} \, R ^ {abcd}}$

onde está o tensor de curvatura de Riemann (nesta equação foi usada a convenção de soma de Einstein , que será usada ao longo do artigo). Por ser a soma dos quadrados dos componentes do tensor, este é um invariante quadrático . ${\ displaystyle R_ {abcd}}$

Para o uso de um sistema de álgebra computacional, uma redação mais detalhada é significativa:

${\ displaystyle K = R_ {abcd} \, R ^ {abcd} = \ sum _ {a = 0} ^ {3} \ sum _ {b = 0} ^ {3} \ sum _ {c = 0} ^ {3} \ sum _ {d = 0} ^ {3} R_ {abcd} \, R ^ {abcd} {\ text {com}} R ^ {abcd} = \ sum _ {i = 0} ^ {3 } g ^ {ai} \, \ sum _ {j = 0} ^ {3} g ^ {bj} \, \ sum _ {k = 0} ^ {3} g ^ {ck} \, \ sum _ { \ ell = 0} ^ {3} g ^ {d \ ell} \, R_ {ijk \ ell}. \,}$

Exemplos

Para um buraco negro de massa de Schwarzschild , o escalar de Kretschmann é ${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle K = {\ frac {48G ^ {2} M ^ {2}} {c ^ {4} r ^ {6}}} \ ,.}$

onde está a constante gravitacional. ${\ displaystyle G}$

Para um espaço - tempo FRW geral com sistema métrico

${\ displaystyle ds ^ {2} = - \ mathrm {d} t ^ {2} + {a (t)} ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} r ^ {2}} { 1-kr ^ {2}}} + r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ theta ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi ^ {2} \ right),}$

o escalar de Kretschmann é

${\ displaystyle K = {\ frac {12 \ left (a (t) ^ {2} a '' (t) ^ {2} + \ left (k + a '(t) ^ {2} \ right) ^ {2} \ right)} {a (t) ^ {4}}}.}$

Relação com outros invariantes

Outro possível invariante (que foi empregado, por exemplo, ao escrever o termo gravitacional do Lagrangiano para algumas teorias da gravidade de ordem superior ) é

${\ displaystyle C_ {abcd} \, C ^ {abcd}}$

onde está o tensor de Weyl , o tensor de curvatura conforme que também é a parte completamente sem rastros do tensor de Riemann. Em dimensões, isso está relacionado ao invariante de Kretschmann por ${\ displaystyle C_ {abcd}}$${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle R_ {abcd} \, R ^ {abcd} = C_ {abcd} \, C ^ {abcd} + {\ frac {4} {d-2}} R_ {ab} \, R ^ {ab} - {\ frac {2} {(d-1) (d-2)}} R ^ {2}}$

onde é o tensor de curvatura de Ricci e é a curvatura escalar de Ricci (obtida tomando traços sucessivos do tensor de Riemann). O tensor de Ricci desaparece em espaços-tempos de vácuo (como a solução de Schwarzschild mencionada acima) e, portanto, o tensor de Riemann e o tensor de Weyl coincidem, assim como seus invariantes. ${\ displaystyle R ^ {ab}}$${\ displaystyle R}$

O escalar de Kretschmann e o escalar de Chern-Pontryagin

${\ displaystyle R_ {abcd} \, {{} ^ {\ star} \! R} ^ {abcd}}$

onde está o dual esquerdo do tensor de Riemann, são matematicamente análogos (em certa medida, fisicamente análogos) aos invariantes familiares do tensor de campo eletromagnético${\ displaystyle {{} ^ {\ star} R} ^ {abcd}}$

${\ displaystyle F_ {ab} \, F ^ {ab}, \; \; F_ {ab} \, {{} ^ {\ star} \! F} ^ {ab}}$

Veja também

• Invariantes de Carminati-McLenaghan , para um conjunto de invariantes.
• Classificação de campos eletromagnéticos , para mais informações sobre os invariantes do tensor de campo eletromagnético.
• Invariante de curvatura , para invariantes de curvatura na geometria Riemanniana e pseudo-Riemanniana em geral.
• Invariante de curvatura (relatividade geral) .
• Decomposição de Ricci , para mais informações sobre o tensor de Riemann e Weyl.

Referências

Leitura adicional

• Grøn, Øyvind ; Hervik, Sigbjørn (2007), Teoria Geral da Relatividade de Einstein , Nova York: Springer, ISBN   978-0-387-69199-2
• BF Schutz (2009), A First Course in General Relativity (Second Edition) , Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-88705-2
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip. S .; Wheeler, John A. (1973), Gravitation , WH Freeman, ISBN   978-0-7167-0344-0