Jacques Touchard - Jacques Touchard

Jacques Touchard (1885-1968) foi um francês matemático . Em 1953, mostrou que um ângulo diferente número perfeita deve estar sob a forma 12 de k  + 1 36 ou K  + 9. Na análise combinatória e a teoria da probabilidade , ele apresentou os polinómios Touchard . Ele também é conhecido por sua solução para o problema ménage de contar arranjos do assento em que homens e mulheres alternativo e não está sentado ao lado de seus cônjuges.

identidade catalã de Touchard

A seguir identidade algébrica envolvendo os números catalães

${\ Displaystyle C_ {k} = {1 \ sobre {k + 1}} {{2k} \ escolher {k}}, \ quad k \ GEQ 0}$

é aparentemente devido a Touchard (de acordo com Richard P. Stanley , que menciona em seu artigo panorama " Exercícios em catalão e números relacionados " dando uma plenitude esmagadora de diferentes definições para os números catalães). Para n  ≥ 0 tem uma

${\ Displaystyle C_ {n + 1} = \ _ {soma k \, \ leq \, n / 2} 2 ^ {n-2k} {n \ escolher 2k} C_ {k}. \,}$

Usando a função de geração

${\ Displaystyle C (t) = \ soma _ {n \ GEQ 0} C_ {n} t ^ {n} = {{1 - {\ sqrt {1-4t}}} \ sobre {2t}}}$

ele pode ser provado por manipulações algébricas de gerar séries que a identidade de Touchard é equivalente à equação funcional

${\ Displaystyle {t \ sobre 1-2t {}} C \ esquerda ({t ^ {2} \ sobre (1-2t) ^ {2}} \ direita) = C (t) -1}$

satisfeito pelo catalã série de geração de C ( t ).

Outras leituras

Canadian Journal of Mathematics 1956 , Vol 8, n ° 3 .; Jornal em francês

Este artigo sobre um matemático francês é um esboço . Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o . v t e