Conjectura Jacobiana - Jacobian conjecture
Campo | Geometria algébrica |
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Conjecturado por | Ott-Heinrich Keller |
Conjecturado em | 1939 |
Equivalente a | Conjectura de Dixmier |
Em matemática , a conjectura Jacobiana é um famoso problema não resolvido relativo a polinômios em várias variáveis . Ele afirma que se uma função polinomial de um espaço n- dimensional para si mesma tem determinante Jacobiano que é uma constante diferente de zero, então a função tem uma inversa polinomial. Foi conjecturado pela primeira vez em 1939 por Ott-Heinrich Keller , e amplamente divulgado por Shreeram Abhyankar , como um exemplo de uma questão difícil em geometria algébrica que pode ser entendida usando pouco além do conhecimento de cálculo .
A conjectura jacobiana é notória pelo grande número de tentativas de provas que acabaram por conter erros sutis. Em 2018, não há alegações plausíveis de ter provado isso. Mesmo o caso de duas variáveis resistiu a todos os esforços. Atualmente não há razões convincentes conhecidas para acreditar que a conjectura seja verdadeira, e de acordo com van den Essen, há algumas suspeitas de que a conjectura é de fato falsa para um grande número de variáveis (na verdade, também não há evidências convincentes para apoiá-las suspeitas). A conjectura Jacobiana é a número 16 na lista de Problemas Matemáticos para o Próximo Século de 1998, de Stephen Smale .
O determinante Jacobiano
Seja N > 1 um número inteiro fixo e considere os polinômios f 1 , ..., f N nas variáveis X 1 , ..., X N com coeficientes em um campo k . Em seguida, definimos uma função de valor vetorial F : k N → k N definindo:
- F ( X 1 , ..., X N ) = ( f 1 ( X 1 , ..., X N ), ..., f N ( X 1 , ..., X N )).
Qualquer mapa F : k N → k N surgindo dessa maneira é chamado de mapeamento polinomial .
O determinante Jacobiana de F , designado por J F , é definida como a determinante da N × N matriz Jacobiana que consiste nos derivados parciais de f i no que diz respeito a X j :
em seguida, J F é ela própria uma função polinomial dos N variáveis X 1 , ..., X N .
Formulação da conjectura
Segue da regra da cadeia multivariável que se F tem uma função inversa polinomial G : k N → k N , então J F tem uma recíproca polinomial, então é uma constante diferente de zero. A conjectura Jacobiana é o seguinte inverso parcial:
Conjectura Jacobiana: Let k tem característica 0. Se J F é uma constante diferente de zero, em seguida, F tem uma função inversa L : k N → k N que é normal , o que significa que os seus componentes são polinómios.
De acordo com van den Essen, o problema foi conjecturado pela primeira vez por Keller em 1939 para o caso limitado de duas variáveis e coeficientes inteiros.
O análogo óbvio da conjectura Jacobiana falha se k tem a característica p > 0 mesmo para uma variável. A característica de um campo deve ser primo, então é pelo menos 2. O polinômio x - x p tem derivada 1 - px p −1 que é 1 (porque px é 0), mas não tem função inversa. No entanto, Kossivi Adjamagbo sugeriu estender a conjectura Jacobiana para a característica p > 0 adicionando a hipótese de que p não divide o grau da extensão do campo k ( X ) / k ( F ) .
A condição J F ≠ 0 está relacionada ao teorema da função inversa no cálculo multivariável . De fato, para funções suaves (e em particular para polinômios), uma função inversa local suave para F existe em cada ponto onde J F é diferente de zero. Por exemplo, o mapa x → x + x 3 tem um inverso global suave, mas o inverso não é polinomial.
Resultados
Stuart Sui-Sheng Wang provou a conjectura Jacobiana para polinômios de grau 2. Hyman Bass, Edwin Connell e David Wright mostraram que o caso geral segue do caso especial em que os polinômios são de grau 3, ou mais especificamente, de cúbico homogêneo tipo, significado da forma F = ( X 1 + H 1 , ..., X n + H n ), onde cada H i é zero ou uma cúbica homogênea. Ludwik Drużkowski mostrou que se pode ainda assumir que o mapa é do tipo linear cúbico, o que significa que os H i diferentes de zero são cubos de polinômios lineares homogêneos. Parece que a redução de Drużkowski é uma das formas mais promissoras de avançar. Essas reduções introduzem variáveis adicionais e, portanto, não estão disponíveis para N fixo .
Edwin Connell e Lou van den Dries provaram que se a conjectura Jacobiana é falsa, então ela tem um contra-exemplo com coeficientes inteiros e determinante Jacobiano 1. Em conseqüência, a conjectura Jacobiana é verdadeira para todos os campos de característica 0 ou para nenhum. Para N fixo , é verdadeiro se for válido para pelo menos um campo algebraicamente fechado de característica 0.
Vamos k [ X ] indicam o anel polinomial k [ X 1 , ..., X n ] e K [ F ] indicam o k -subalgebra gerado por f 1 , ..., M n . Para um dado F , a conjectura Jacobiana é verdadeira se, e somente se, k [ X ] = k [ F ] . Keller (1939) provou o caso birracional, ou seja, onde os dois campos k ( X ) ek ( F ) são iguais. O caso em que k ( X ) é uma extensão de Galois de k ( F ) foi provado por Andrew Campbell para mapas complexos e em geral por Michael Razar e, independentemente, por David Wright. Tzuong-Tsieng Moh verificou a conjectura para polinômios de grau no máximo 100 em duas variáveis.
Michiel de Bondt e Arno van den Essen e Ludwik Drużkowski mostraram independentemente que é suficiente provar a Conjectura Jacobiana para mapas complexos de tipo cúbico homogêneo com uma matriz Jacobiana simétrica, e ainda mostraram que a conjectura é válida para mapas de tipo linear cúbico com um matriz Jacobiana simétrica, sobre qualquer campo de característica 0.
A forte conjectura Jacobiana real era que um mapa polinomial real com um determinante Jacobiano desaparecendo em lugar nenhum tem um inverso global suave. Isso equivale a perguntar se tal mapa é topologicamente um mapa adequado, caso em que é um mapa de cobertura de uma variedade simplesmente conectada, portanto invertível. Sergey Pinchuk construiu dois contra-exemplos variáveis de grau total 35 e superior.
É sabido que a conjectura de Dixmier implica a conjectura jacobiana. Por outro lado, é mostrado por Yoshifumi Tsuchimoto e independentemente por Alexei Belov-Kanel e Maxim Kontsevich que a conjectura Jacobiana para variáveis 2N implica a conjectura de Dixmier em N dimensões. Uma prova autocontida e puramente algébrica da última implicação também é fornecida por Kossivi Adjamagbo e Arno van den Essen, que também provaram no mesmo artigo que essas duas conjecturas são equivalentes à conjectura de Poisson.