Interpretação (teoria do modelo) - Interpretation (model theory)

Em teoria do modelo , a interpretação de uma estrutura H na outra estrutura de N (tipicamente de uma pessoa diferente da assinatura ) é uma noção técnica que se aproxima da ideia da representando M dentro N . Por exemplo cada reduct ou expansão de definição de uma estrutura de N tem uma interpretação em N .

Muitas propriedades teóricas do modelo são preservadas sob interpretabilidade. Por exemplo, se a teoria de N é estável e M é interpretável em N , então a teoria de M também é estável.

Definição

Uma interpretação de M em N com parâmetros (ou sem parâmetros , respectivamente) é um par onde n é um número natural e é um mapa sobrejetivo de um subconjunto de N n em M tal que a -preimagem (mais precisamente a -preimagem) de todo conjunto X  ⊆  M k definível em M por uma fórmula de primeira ordem sem parâmetros é definível (em N ) por uma fórmula de primeira ordem com parâmetros (ou sem parâmetros, respectivamente). Uma vez que o valor de n para uma interpretação geralmente é claro no contexto, o próprio mapa também é chamado de interpretação.

Para verificar se a pré-imagem de cada conjunto definível (sem parâmetros) definido em M é definível em N (com ou sem parâmetros), é suficiente verificar as pré-imagens dos seguintes conjuntos definíveis:

  • o domínio de M ;
  • a diagonal de H 2 ;
  • toda relação na assinatura de M ;
  • o gráfico de cada função na assinatura do M .

Na teoria do modelo, o termo definível geralmente se refere à definibilidade com parâmetros; se esta convenção for usada, definibilidade sem parâmetros é expressa pelo termo 0-definível . Da mesma forma, uma interpretação com parâmetros pode ser referida simplesmente como uma interpretação e uma interpretação sem parâmetros como uma interpretação 0 .

Biinterpretabilidade

Se L, M e N são três estruturas, L é interpretado em M e M é interpretado em N, então pode-se construir naturalmente uma interpretação composta de L em N. Se duas estruturas M e N são interpretadas uma na outra, então por combinando as interpretações de duas maneiras possíveis, obtém-se uma interpretação de cada uma das duas estruturas em si. Esta observação permite definir uma relação de equivalência entre estruturas, reminiscente da equivalência de homotopia entre espaços topológicos.

Duas estruturas M e N são bi-interpretáveis se houver uma interpretação de M em N e uma interpretação de N em M de modo que as interpretações compostas de M em si e de N em si sejam definíveis em M e em N , respectivamente (o interpretações compostas sendo vistas como operações em M e em N ).

Exemplo

O mapa parcial f de Z  ×  Z para Q que mapeia ( x ,  y ) para x / y se y ≠ 0 fornece uma interpretação do campo Q de números racionais no anel Z de inteiros (para ser preciso, a interpretação é ( 2,  f )). Na verdade, essa interpretação particular é freqüentemente usada para definir os números racionais. Para ver que é uma interpretação (sem parâmetros), é necessário verificar as seguintes pré-imagens de conjuntos definíveis em Q :

  • a pré-imagem de Q é definida pela fórmula φ ( x ,  y ) dada por ¬ ( y  = 0);
  • a pré-imagem da diagonal de Q é definida pela fórmula φ ( x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ) dada por x 1 × y 2 = x 2 × y 1 ;
  • as pré-imagens de 0 e 1 são definidas pelas fórmulas φ ( x ,  y ) dadas por x  = 0 e x  =  y ;
  • a pré-imagem do gráfico de adição é definida pela fórmula φ ( x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 ) dada por x 1 × y 2 × y 3 + x 2 × y 1 × y 3 = x 3 x y 1 x y 2 ;
  • a pré-imagem do gráfico de multiplicação é definida pela fórmula φ ( x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 ) dada por x 1 × x 2 × y 3 = x 3 × y 1 × y 2 .

Referências

  • Ahlbrandt, Gisela; Ziegler, Martin (1986), "teorias quasi finitely axiomatizable totalmente categóricas", Annals of Pure and Applied Logic , 30 : 63-82, doi : 10.1016 / 0168-0072 (86) 90037-0
  • Hodges, Wilfrid (1997), A Short Model theory , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6 (Seção 4.3)
  • Poizat, Bruno (2000), A Course in Model Theory , Springer , ISBN 978-0-387-98655-5 (Seção 9.4)