Em finanças , a precificação de indiferença é um método de precificação de títulos financeiros em relação a uma função de utilidade . O preço indiferente também é conhecido como preço de reserva avaliação privada . Em particular, o preço de indiferença é o preço pelo qual um agente teria o mesmo nível de utilidade esperado ao exercer uma transação financeira ou ao não fazê-lo (caso contrário, com negociação ótima). Normalmente, o preço de indiferença é uma faixa de preços (um spread bid-ask ) para um agente específico; essa faixa de preço é um exemplo de limites de bom negócio .
Matemática Dada uma função de utilidade e uma reivindicação com payoffs conhecidos em algum momento terminal, deixe a função ser definida por
você
{\ displaystyle u}
C
T
{\ displaystyle C_ {T}}
T
,
{\ displaystyle T,}
V
:
R
×
R
→
R
{\ displaystyle V: \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}
V
(
x
,
k
)
=
e aí
X
T
∈
UMA
(
x
)
E
[
você
(
X
T
+
k
C
T
)
]
{\ displaystyle V (x, k) = \ sup _ {X_ {T} \ in {\ mathcal {A}} (x)} \ mathbb {E} \ left [u \ left (X_ {T} + kC_ { T} \ direita) \ direita]}
onde é a dotação inicial, é o conjunto de todas as carteiras autofinanciadas no momento começando com a dotação e é o número do crédito a ser comprado (ou vendido). Então, o preço de compra indiferente para unidades de é a solução de e o preço de compra indiferente é a solução de . O limite de preço de indiferença é o intervalo .
x
{\ displaystyle x}
UMA
(
x
)
{\ displaystyle {\ mathcal {A}} (x)}
T
{\ displaystyle T}
x
{\ displaystyle x}
k
{\ displaystyle k}
v
b
(
k
)
{\ displaystyle v ^ {b} (k)}
k
{\ displaystyle k}
C
T
{\ displaystyle C_ {T}}
V
(
x
-
v
b
(
k
)
,
k
)
=
V
(
x
,
0
)
{\ displaystyle V (xv ^ {b} (k), k) = V (x, 0)}
v
uma
(
k
)
{\ displaystyle v ^ {a} (k)}
V
(
x
+
v
uma
(
k
)
,
-
k
)
=
V
(
x
,
0
)
{\ displaystyle V (x + v ^ {a} (k), - k) = V (x, 0)}
[
v
b
(
k
)
,
v
uma
(
k
)
]
{\ displaystyle \ left [v ^ {b} (k), v ^ {a} (k) \ right]}
Exemplo Considere um mercado com um ativo sem risco com e , e um ativo arriscado com e cada um com probabilidade . Deixe sua função de utilidade ser fornecida por . Para encontrar o preço de indiferença de compra ou de compra para uma única opção de compra europeia com strike 110, primeiro calcule .
B
{\ displaystyle B}
B
0
=
100
{\ displaystyle B_ {0} = 100}
B
T
=
110
{\ displaystyle B_ {T} = 110}
S
{\ displaystyle S}
S
0
=
100
{\ displaystyle S_ {0} = 100}
S
T
∈
{
90
,
110
,
130
}
{\ displaystyle S_ {T} \ in \ {90.110.130 \}}
1
/
3
{\ displaystyle 1/3}
você
(
x
)
=
1
-
exp
(
-
x
/
10
)
{\ displaystyle u (x) = 1- \ exp (-x / 10)}
V
(
x
,
0
)
{\ displaystyle V (x, 0)}
V
(
x
,
0
)
=
max
α
B
0
+
β
S
0
=
x
E
[
1
-
exp
(
-
.1
×
(
α
B
T
+
β
S
T
)
)
]
{\ displaystyle V (x, 0) = \ max _ {\ alpha B_ {0} + \ beta S_ {0} = x} \ mathbb {E} [1- \ exp (-. 1 \ vezes (\ alpha B_ {T} + \ beta S_ {T}))]}
=
max
β
[
1
-
1
3
[
exp
(
-
1,10
x
-
20
β
10
)
+
exp
(
-
1,10
x
10
)
+
exp
(
-
1,10
x
+
20
β
10
)
]
]
{\ displaystyle = \ max _ {\ beta} \ left [1 - {\ frac {1} {3}} \ left [\ exp \ left (- {\ frac {1.10x-20 \ beta} {10}} \ right) + \ exp \ left (- {\ frac {1.10x} {10}} \ right) + \ exp \ left (- {\ frac {1.10x + 20 \ beta} {10}} \ right) \ certo, certo]}
Que é maximizado quando , portanto .
β
=
0
{\ displaystyle \ beta = 0}
V
(
x
,
0
)
=
1
-
exp
(
-
1,10
x
10
)
{\ displaystyle V (x, 0) = 1- \ exp \ left (- {\ frac {1.10x} {10}} \ right)}
Agora, para encontrar o preço do lance de indiferença, resolva para
V
(
x
-
v
b
(
1
)
,
1
)
{\ displaystyle V (xv ^ {b} (1), 1)}
V
(
x
-
v
b
(
1
)
,
1
)
=
max
α
B
0
+
β
S
0
=
x
-
v
b
(
1
)
E
[
1
-
exp
(
-
.1
×
(
α
B
T
+
β
S
T
+
C
T
)
)
]
{\ displaystyle V (xv ^ {b} (1), 1) = \ max _ {\ alpha B_ {0} + \ beta S_ {0} = xv ^ {b} (1)} \ mathbb {E} [ 1- \ exp (-. 1 \ vezes (\ alpha B_ {T} + \ beta S_ {T} + C_ {T}))]}
=
max
β
[
1
-
1
3
[
exp
(
-
1,10
(
x
-
v
b
(
1
)
)
-
20
β
10
)
+
exp
(
-
1,10
(
x
-
v
b
(
1
)
)
10
)
+
exp
(
-
1,10
(
x
-
v
b
(
1
)
)
+
20
β
+
20
10
)
]
]
{\ displaystyle = \ max _ {\ beta} \ left [1 - {\ frac {1} {3}} \ left [\ exp \ left (- {\ frac {1.10 (xv ^ {b} (1)) -20 \ beta} {10}} \ right) + \ exp \ left (- {\ frac {1.10 (xv ^ {b} (1))} {10}} \ right) + \ exp \ left (- { \ frac {1.10 (xv ^ {b} (1)) + 20 \ beta +20} {10}} \ direita) \ direita] \ direita]}
Que é maximizado quando , portanto .
β
=
-
1
2
{\ displaystyle \ beta = - {\ frac {1} {2}}}
V
(
x
-
v
b
(
1
)
,
1
)
=
1
-
1
3
exp
(
-
1,10
x
/
10
)
exp
(
1,10
v
b
(
1
)
/
10
)
[
1
+
2
exp
(
-
1
)
]
{\ displaystyle V (xv ^ {b} (1), 1) = 1 - {\ frac {1} {3}} \ exp (-1,10x / 10) \ exp (1,10v ^ {b} (1) / 10) \ esquerda [1 + 2 \ exp (-1) \ direita]}
Portanto, quando .
V
(
x
,
0
)
=
V
(
x
-
v
b
(
1
)
,
1
)
{\ displaystyle V (x, 0) = V (xv ^ {b} (1), 1)}
v
b
(
1
)
=
10
1,1
registro
(
3
1
+
2
exp
(
-
1
)
)
≈
4,97
{\ displaystyle v ^ {b} (1) = {\ frac {10} {1.1}} \ log \ left ({\ frac {3} {1 + 2 \ exp (-1)}} \ right) \ aprox 4,97}
Da mesma forma, resolva para encontrar o preço de venda da indiferença.
v
uma
(
1
)
{\ displaystyle v ^ {a} (1)}
Veja também Notas
Se são os limites de preço de indiferença para uma reclamação, então, por definição .
[
v
b
(
k
)
,
v
uma
(
k
)
]
{\ displaystyle \ left [v ^ {b} (k), v ^ {a} (k) \ right]}
v
b
(
k
)
=
-
v
uma
(
-
k
)
{\ displaystyle v ^ {b} (k) = - v ^ {a} (- k)}
Se é o preço de lance de indiferença para um sinistro e são o preço de superhedging e os preços de subhedging respectivamente . Portanto, em um mercado completo, o preço de indiferença é sempre igual ao preço de cobertura do sinistro.
v
(
k
)
{\ displaystyle v (k)}
v
s
você
p
(
k
)
,
v
s
você
b
(
k
)
{\ displaystyle v ^ {sup} (k), v ^ {sub} (k)}
v
s
você
b
(
k
)
≤
v
(
k
)
≤
v
s
você
p
(
k
)
{\ displaystyle v ^ {sub} (k) \ leq v (k) \ leq v ^ {sup} (k)}
Referências
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
![{\ displaystyle V (x, k) = \ sup _ {X_ {T} \ in {\ mathcal {A}} (x)} \ mathbb {E} \ left [u \ left (X_ {T} + kC_ { T} \ direita) \ direita]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4689e6c3c4313fb3f021882dfa5313b65c9fa4e0)
![{\ displaystyle \ left [v ^ {b} (k), v ^ {a} (k) \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7e22b7d484d20ed6b4edf05c825a4a05a8ca756)
![{\ displaystyle V (x, 0) = \ max _ {\ alpha B_ {0} + \ beta S_ {0} = x} \ mathbb {E} [1- \ exp (-. 1 \ vezes (\ alpha B_ {T} + \ beta S_ {T}))]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6733386bf0d1ea733c5c783b75eaadbbfc73704)
![{\ displaystyle = \ max _ {\ beta} \ left [1 - {\ frac {1} {3}} \ left [\ exp \ left (- {\ frac {1.10x-20 \ beta} {10}} \ right) + \ exp \ left (- {\ frac {1.10x} {10}} \ right) + \ exp \ left (- {\ frac {1.10x + 20 \ beta} {10}} \ right) \ certo, certo]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d878b0891503db1d0ac75f4fe2278b531e0c4fec)
![{\ displaystyle V (xv ^ {b} (1), 1) = \ max _ {\ alpha B_ {0} + \ beta S_ {0} = xv ^ {b} (1)} \ mathbb {E} [ 1- \ exp (-. 1 \ vezes (\ alpha B_ {T} + \ beta S_ {T} + C_ {T}))]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f5dc1044bab3e50b132b98e1b2b4a972e22df9)
![{\ displaystyle = \ max _ {\ beta} \ left [1 - {\ frac {1} {3}} \ left [\ exp \ left (- {\ frac {1.10 (xv ^ {b} (1)) -20 \ beta} {10}} \ right) + \ exp \ left (- {\ frac {1.10 (xv ^ {b} (1))} {10}} \ right) + \ exp \ left (- { \ frac {1.10 (xv ^ {b} (1)) + 20 \ beta +20} {10}} \ direita) \ direita] \ direita]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62dfe4af1dff2cb016c70488d635e894cab425b7)
![{\ displaystyle V (xv ^ {b} (1), 1) = 1 - {\ frac {1} {3}} \ exp (-1,10x / 10) \ exp (1,10v ^ {b} (1) / 10) \ esquerda [1 + 2 \ exp (-1) \ direita]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee64c89445015f50dd39d342605abb93ac97962)
