independência Axiom - Axiom independence
Um axioma P é independente , se não houver outros axiomas Q tal que Q implica P.
Em muitos casos é desejada independência, quer para chegar à conclusão de um conjunto reduzido de axiomas, ou para ser capaz de substituir um axioma independente para criar um sistema mais concisa (por exemplo, o postulado paralelo é independente de Euclides Axioms 's, e pode fornecer resultados interessantes quando um formulário negada ou manipulado do postulado é colocado em seu lugar).
provando Independência
Se o axiomas originais Q não são consistentes , então nenhum novo axioma é independente. Se eles são consistentes, então P pode ser mostrado independente deles, se a adição de P-lhes, ou adicionando a negação de P, ambos os conjuntos consistentes de rendimento axiomas. Por exemplo, Axioms de Euclides, com o postulado paralelo incluídos, os rendimentos geometria euclidiana, e com o postulado paralelo negada, produz não-euclideana geometria (esférica ou hiperbólico). Ambos estes sistemas são consistentes, demonstrando que o postulado paralelo é independente dos outros axiomas da geometria.
Provando a independência é frequentemente muito difícil. Forçando é uma técnica vulgarmente usada.