medida idempotente - Idempotent measure

Em matemática , uma medida idempotent em um grupo de métricas é uma medida de probabilidade que é igual a sua convolução com a própria; em outras palavras, uma medida idempotent é um elemento idempotente no semigrupo topológica de medidas de probabilidade sobre o grupo métrica dada.

Explicitamente, dado um grupo métrica X e duas medidas de probabilidade u e ν em X , a convolução μ  *  ν de μ e ν é a medida dada pela

${\ Displaystyle (\ mu * \ nu) (A) = \ int _ {X} \ mu (Ax ^ {- 1}) \, \ mathrm {d} \ nu (x) = \ int _ {X} \ nu (x ^ {- 1} A) \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

Borel para qualquer subconjunto Um de X . (A igualdade das duas integrais decorre do teorema de Fubini .) No que diz respeito à topologia de convergência fraca de medidas , a operação de convolução torna o espaço de medidas de probabilidade de X em um semigrupo topológico. Assim, μ diz-se ser uma medida de idempotente se μ  *  μ  =  μ .

Pode ser mostrado que as únicas medidas de probabilidade idempotentes em uma completa , separáveis grupo de métricas são as normalizados medidas Haar de compactos subgrupos .

Referências

• Parthasarathy, KR (2005). Medidas de probabilidade sobre espaços métricos . AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. pp. xii + 276. ISBN  0-8218-3889-X . MR 2169627 (ver Capítulo 3, seção 3)