Hiperbólica aversão ao risco absoluto - Hyperbolic absolute risk aversion

Em finanças , economia , e teoria de decisão , aversão ao risco absoluto hiperbólica ( HARA ) refere-se a um tipo de aversão ao risco que é particularmente conveniente para modelar e matematicamente para se obter predições empíricas de. Refere-se especificamente a uma propriedade de funções de utilidade von Neumann-Morgenstern , que são tipicamente funções de riqueza final (ou alguma variável), e que descrevem um grau de tomador de decisões de satisfação com o resultado de riqueza. O resultado final para a riqueza é afetado tanto por variáveis aleatórias e pelas decisões. Os decisores são assumidas para tomar suas decisões (como, por exemplo, as alocações de carteira ), de modo a maximizar o valor esperado da função utilidade.

Casos especiais notáveis de funções utilitárias Hara incluem a função quadrática utilidade , a função de utilidade exponencial , e a função de utilidade isoelástica .

Definição

Uma função de utilidade é dito que exibem hiperbólica aversão ao risco absoluto se e apenas se o nível de tolerância ao risco -o recíproca de aversão ao risco absoluto -é uma função linear da riqueza W : ${\ Displaystyle T (W)}$ ${\ Displaystyle A (W)}$

${\ Displaystyle T (W) = {\ frac {1} {A (W)}} = {\ frac {W} {1- \ gamma}} + {\ frac {b} {a}},}$

onde A ( W ) é definida como - L " ( W ) / L '( W .) Uma função de utilidade U ( W ) tem esta propriedade, e, assim, é uma função de utilidade HARA, se e apenas se ele tiver a forma

${\ Displaystyle L (W) = {\ frac {1- \ gamma} {\ gamma}} \ esquerda ({\ frac {aW} {1- \ gamma}} + b \ direita) ^ {\ gamma}}$

com restrições à riqueza e os parâmetros de tal forma que e Para um dado parametrização, esta restrição coloca um limite inferior no W se e um limite superior de W se . Para o caso limite como → 1, a regra de L'Hôpital mostra que a função de utilidade torna-se linear na riqueza; e para o caso limite como vai para 0, a função de utilidade torna-se logarítmica: . ${\ Displaystyle a> 0}$${\ Displaystyle b + {\ frac {aW} {1- \ gamma}}> 0.}$${\ Displaystyle \ gama <1}$${\ Displaystyle \ gamma> 1}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle L (W) = {\ texto {log}} (aW + b)}$

Diminuindo, constante e crescente aversão ao risco absoluto

Aversão ao risco absoluto é decrescente se (equivalentemente T '( W )> 0), o que ocorre se e somente se é finita e menos do que 1; este é considerado o caso empiricamente plausível, uma vez que implica que um investidor vai colocar mais fundos para ativos de risco os mais fundos disponíveis para investir. Constante aversão ao risco absoluto ocorre como vai para infinito positivo ou negativo, e o caso particularmente plausível do aumento da aversão ao risco absoluto ocorre se for maior do que um e finito.${\ Displaystyle A '(W) <0}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ gamma}$

Diminuindo, constante, e aumentando a aversão ao risco relativo

Aversão ao risco relativo é definido como R ( W ) = WA ( W ); é cada vez maior, se , diminuindo se , e constante se . Assim aversão ao risco relativo está a aumentar, se b > 0 (para ), constante, se b = 0, e diminuindo se b <0 (para ).${\ Displaystyle R '(W)> 0}$${\ Displaystyle R '(W) <0}$${\ Displaystyle R '(W) = 0}$${\ Displaystyle \ gamma \ neq 1}$${\ Displaystyle - \ infty <\ gamma <1}$

Casos especiais

• Utility é linear (o neutro risco caso) se .${\ Displaystyle \ gama = 1}$
• Utility é quadrática (uma implausível que caso muito matematicamente tratável, com o aumento da aversão ao risco absoluto) se .${\ Displaystyle \ gama = 2}$
• A função de utilidade exponencial , que tem aversão constante risco absoluto, ocorre se b = 1 e vai para infinito negativo.${\ Displaystyle \ gamma}$
• A função de utilidade poder ocorrer se e .${\ Displaystyle \ gama <1}$${\ Displaystyle um = 1- \ gamma}$

• O mais caso especial do utilitário isoelástica função, com constante aversão ao risco relativo, ocorre se, adicionalmente, b = 0.

• A função de utilidade logarítmica para ocorre como vai para 0.${\ Displaystyle a = 1}$${\ Displaystyle \ gamma}$

• O caso mais especial da constante aversão ao risco relativo igual a um - L ( W ) = log ( W ) - ocorre se, adicionalmente, b = 0.

previsões comportamentais resultantes de utilidade HARA

carteiras estáticas

Se todos os investidores têm funções de utilidade Hara com o mesmo expoente, em seguida, na presença de um ativo livre de risco um de dois fundos de separação monetária teorema resultados: cada investidor detém os ativos de risco disponíveis nas mesmas proporções como fazem todos os outros investidores, e os investidores diferem uns dos outros em seu comportamento portfólio apenas em relação à fração de suas carteiras detidas no ativo livre de risco, em vez de na coleção de ativos de risco.

Além disso, se um investidor tem uma função de utilidade HARA e um ativo livre de risco está disponível, então exigências do investidor para o ativo livre de risco e de todos os ativos de risco são lineares na riqueza inicial.

No modelo de precificação de ativos de capital , existe uma função de utilidade investidor representante dependendo funções de utilidade dos investidores individuais e os níveis de riqueza, independente dos ativos disponíveis, se e somente se todos os investidores têm funções de utilidade Hara com o mesmo expoente. A função de utilidade representante depende da distribuição da riqueza, e pode-se descrever o comportamento do mercado como se houvesse um único investidor com a função de utilidade representante.

Com um conjunto completo de títulos estaduais contingente , uma condição suficiente para preços de segurança em equilíbrio a ser independente da distribuição das participações iniciais de riqueza é que todos os investidores têm funções de utilidade Hara com expoente idênticos e taxa idêntica de preferência temporal entre o início-de- e período de consumo em fim de período.

carteiras dinâmicas em tempo discreto

Em um contexto portfólio dinâmico otimização de tempo discreto, sob utilidade HARA escolha ideal portfólio envolve miopia parcial se houver um ativo livre de risco e não há independência série de retornos de ativos: para encontrar a carteira atual período ideal, é preciso saber nenhum futuro informações distributivo sobre os ativos retornos exceto os futuros retornos livres de risco.

Com retornos de activos que são de forma independente e identicamente distribuídas ao longo do tempo e com um activo isento de riscos, proporções de ativos de risco são independentes do tempo de vida restante do investidores.

carteiras dinâmicas em tempo contínuo

Com retornos de ativos cuja evolução é descrita pelo movimento browniano e que são de forma independente e identicamente distribuída ao longo do tempo, e com um ativo livre de risco, pode-se obter uma solução explícita para a demanda para o fundo mútuo ideal único, e que a demanda é linear em riqueza inicial.

Referências

links externos

• solução em forma fechada para um problema poupanças de consumo com utilidade HARA