Argumento de buraco - Hole argument

Na relatividade geral , o argumento do buraco é um aparente paradoxo que muito perturbou Albert Einstein ao desenvolver suas famosas equações de campo .

Alguns filósofos da física consideram o argumento de levantar um problema para o substancialismo múltiplo , uma doutrina de que a multiplicidade de eventos no espaço - tempo é uma "substância" que existe independentemente do campo métrico definido nela ou da matéria dentro dela. Outros filósofos e físicos discordam dessa interpretação e veem o argumento como uma confusão sobre a invariância do medidor e a fixação do medidor .

O argumento completo de Einstein

Em uma equação de campo comum, conhecer a fonte do campo e as condições de contorno determina o campo em todos os lugares. Por exemplo, se tivermos a densidade de corrente e carga e as condições de contorno apropriadas, as equações de Maxwell determinam os campos elétrico e magnético. Porém, eles não determinam o potencial vetorial, porque o potencial vetorial depende de uma escolha arbitrária de medidor.

Einstein notou que se as equações da gravidade são geralmente covariantes , então a métrica não pode ser determinada exclusivamente por suas fontes em função das coordenadas do espaço-tempo. Por exemplo: considere uma fonte gravitacional, como o sol. Então, há algum campo gravitacional descrito por uma métrica g (r). Agora execute uma transformação de coordenadas r r 'onde r' é o mesmo que r para pontos que estão dentro do sol, mas r 'é diferente de r fora do sol. A descrição das coordenadas do interior do sol não é afetada pela transformação, mas a forma funcional da métrica g 'para os novos valores das coordenadas fora do sol é alterada. Devido à covariância geral das equações de campo, esta métrica transformada g 'também é uma solução no sistema de coordenadas não transformado. ${\ displaystyle \ to}$

Isso significa que uma fonte, o sol, pode ser a fonte de muitas métricas aparentemente diferentes. A resolução é imediata: quaisquer dois campos que diferem apenas por tal transformação de "buraco" são fisicamente equivalentes, assim como dois potenciais vetoriais diferentes que diferem por uma transformação de calibre são fisicamente equivalentes. Então, todas essas soluções matematicamente distintas não são fisicamente distinguíveis - elas representam uma e a mesma solução física das equações de campo.

Existem muitas variações desse aparente paradoxo. Em uma versão, você considera uma superfície de valor inicial com alguns dados e encontra a métrica em função do tempo. Em seguida, você executa uma transformação de coordenadas que move pontos no futuro da superfície de valor inicial, mas que não afeta a superfície inicial ou quaisquer pontos no infinito. Então você pode concluir que as equações de campo geralmente covariantes não determinam o futuro exclusivamente, uma vez que esta nova métrica transformada por coordenadas é uma solução igualmente válida das mesmas equações de campo no sistema de coordenadas original. Portanto, o problema do valor inicial não tem solução única na relatividade geral. Isso também é verdade na eletrodinâmica - uma vez que você pode fazer uma transformação de calibre que afetará apenas o potencial do vetor amanhã. A resolução em ambos os casos é usar condições extras para fixar um medidor.

Disputando a versão acima do argumento de buraco de Einstein

A derivação de Einstein das equações do campo gravitacional foi atrasada por causa do argumento do buraco que ele criou em 1913. No entanto, o problema não era como apresentado na seção acima. Em 1912, época em que Einstein deu início ao que chamou de "luta com o significado das coordenadas", ele já sabia como pesquisar equações tensoriais, pois estas não são afetadas pela mudança de coordenadas. Ele já havia encontrado a forma do campo gravitacional (ou seja, como um tétrade ou campo de moldura ou métrica ), e as equações do movimento da matéria em um determinado campo gravitacional (que decorrem da maximização do tempo adequado dado por ). É evidente que isso é invariável sob transformações de coordenadas. ${\ displaystyle e _ {\ mu} ^ {I} (x)}$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} (x)}$${\ displaystyle ds ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} (x) dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}}$

O que o perturbou foi uma consequência de seu princípio de covariância geral e decorre do seguinte. A covariância geral afirma que as leis da física devem assumir a mesma forma matemática em todos os referenciais e, portanto, todos os sistemas de coordenadas e, portanto, a equação diferencial que são as equações de campo do campo gravitacional deve assumir a mesma forma matemática em todos os sistemas de coordenadas. Em outras palavras, dados dois sistemas de coordenadas, digamos coordenadas e coordenadas, um tem exatamente a mesma equação diferencial para resolver em ambos, exceto em um a variável independente é e no outro a variável independente é . Isso implica que, assim que se encontra uma função métrica no sistema de coordenadas que resolve as equações de campo, pode-se simplesmente escrever a mesma função, mas substituir todos os 's por ' s, o que resolve as equações de campo no sistema de coordenadas. Como essas duas soluções têm a mesma forma funcional, mas pertencem a sistemas de coordenadas diferentes, elas impõem geometrias de espaço-tempo diferentes. Observe que esta segunda solução não está relacionada à primeira por meio de uma transformação de coordenadas, mas é uma solução, no entanto. Aqui está o problema que tanto perturbou Einstein: se esses sistemas de coordenadas diferem apenas depois , então existem duas soluções; eles têm as mesmas condições iniciais, mas depois impõem geometrias diferentes . Com base nessa observação, Einstein passou três anos procurando equações de campo não covariantes em uma corrida frenética contra Hilbert . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle t = 0}$

Para ser mais preciso, Einstein concebeu uma situação em que a distribuição da matéria é conhecida em todos os lugares fora de alguma região fechada do espaço-tempo desprovida de matéria, o buraco. Então, as equações do campo, juntamente com as condições de contorno, supostamente permitem que o campo métrico seja determinado dentro do furo. Toma-se as coordenadas e para diferir dentro do buraco, mas concordar fora dele. O argumento prossegue como no parágrafo anterior. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

Como essas duas soluções têm a mesma forma funcional, elas assumem os mesmos valores; eles apenas os assumem em lugares diferentes. Portanto, uma solução é obtida da outra arrastando ativamente a função métrica sobre a variedade do espaço-tempo para a nova configuração. Isso é conhecido como difeomorfismo , às vezes chamado de difeomorfismo ativo pelos físicos para distingui-lo das transformações de coordenadas (difeomorfismos passivos). Einstein falhou em encontrar equações de campo não geralmente covariantes apenas para retornar ao argumento do buraco e resolvê-lo. Basicamente, envolveu a aceitação de que essas duas soluções são fisicamente equivalentes, alegando que a forma como a métrica está localizada sobre a variedade do espaço-tempo é fisicamente irrelevante e que os pontos individuais do espaço-tempo definidos em termos de coordenadas do espaço-tempo não têm significado físico por si próprios (esta é a fonte do problema para o substancialismo múltiplo). Para dar significado a 'localização', Einstein generalizou a situação dada nos parágrafos acima, introduzindo duas partículas; então os pontos físicos (dentro do buraco) podem ser definidos em termos de suas linhas de mundo coincidentes. Isso funciona porque a matéria é arrastada junto com a métrica sob difeomorfismos ativos. Sem a introdução dessas partículas, não seria possível definir os pontos físicos do espaço-tempo (dentro do buraco); ver as citações de Einstein fornecidas abaixo na seção 'Resolução de Einstein'.

Significado de invariância coordenada

Para os inclinados à filosofia, ainda há alguma sutileza. Se os componentes métricos são considerados as variáveis ​​dinâmicas da Relatividade Geral , a condição de que as equações sejam invariantes por coordenadas não tem conteúdo por si só. Todas as teorias físicas são invariantes sob transformações de coordenadas, se formuladas adequadamente. É possível escrever as equações de Maxwell em qualquer sistema de coordenadas e prever o futuro da mesma maneira.

Mas, para formular o eletromagnetismo em um sistema de coordenadas arbitrário, deve-se introduzir uma descrição da geometria do espaço-tempo que não está ligada a um sistema de coordenadas especial. Esta descrição é um tensor métrico em cada ponto, ou uma conexão que define quais vetores próximos são paralelos. O objeto matemático introduzido, a métrica de Minkowski, muda de forma de um sistema de coordenadas para outro, mas não faz parte da dinâmica, não obedece a equações de movimento. Não importa o que aconteça com o campo eletromagnético, é sempre o mesmo. Ele age sem sofrer nenhuma ação.

Na Relatividade Geral, cada quantidade local separada que é usada para descrever a geometria é ela mesma um campo dinâmico local, com sua própria equação de movimento. Isso produz restrições severas, porque a equação do movimento tem que ser sensata. Deve determinar o futuro a partir das condições iniciais, não deve ter instabilidades descontroladas para pequenas perturbações, deve definir uma energia definida positiva para pequenos desvios. Se alguém adotar o ponto de vista de que a invariância de coordenadas é trivialmente verdadeira, o princípio da invariância de coordenadas simplesmente afirma que a própria métrica é dinâmica e sua equação de movimento não envolve uma geometria de fundo fixa.

Resolução de Einstein

Em 1915, Einstein percebeu que o argumento do buraco faz uma suposição sobre a natureza do espaço-tempo: ele presume que há sentido em falar sobre o valor do campo gravitacional (até meras transformações de coordenadas) em um ponto do espaço-tempo definido por uma coordenada do espaço-tempo - mais precisamente, presume que há sentido em falar sobre propriedades físicas do campo gravitacional, por exemplo, se ele é plano ou curvo (esta é uma propriedade independente de coordenadas do campo gravitacional), em um ponto do espaço-tempo. Ao abandonar essa suposição, a covariância geral tornou-se compatível com o determinismo. Embora dois campos gravitacionais que diferem por um difeomorfismo ativo pareçam geometricamente diferentes, depois que as trajetórias de todas as partículas são recalculadas, suas interações definem manifestamente as localizações "físicas" em relação às quais o campo gravitacional assume o mesmo valor em todos os difeomorfismos ativos. (Observe que se as duas métricas estivessem relacionadas entre si por uma mera transformação de coordenadas, as linhas de mundo das partículas não seriam transpostas; isso ocorre porque ambas as métricas impõem a mesma geometria do espaço-tempo e porque as linhas de mundo são definidas geometricamente como trajetórias de máximo tempo adequado - é apenas com um difeomorfismo ativo que a geometria é alterada e as trajetórias alteradas.) Esta foi a primeira declaração clara do princípio da invariância de calibre na lei física.

Einstein acreditava que o argumento do buraco implica que a única definição significativa de local e tempo é por meio da matéria. Um ponto no espaço-tempo não tem sentido em si mesmo, porque o rótulo que se atribui a tal ponto é indeterminado. Os pontos do espaço-tempo apenas adquirem seu significado físico porque a matéria está se movendo através deles. Em suas palavras:

"Todas as nossas verificações de espaço-tempo invariavelmente equivalem a uma determinação de coincidências de espaço-tempo. Se, por exemplo, os eventos consistissem meramente no movimento de pontos materiais, então, em última análise, nada seria observável, mas o encontro de dois ou mais desses pontos. "

Ele considerou este o insight mais profundo da relatividade geral. De acordo com esse insight, o conteúdo físico de qualquer teoria é exaurido pelo catálogo das coincidências do espaço-tempo que ela licencia. John Stachel chamou esse princípio de argumento da coincidência pontual .

Geralmente o que é invariante sob difeomorfismos ativos e, portanto, invariante de calibre, são as coincidências entre o valor do campo gravitacional e o valor que o campo de matéria tem no mesmo 'lugar' porque o campo gravitacional e o campo de matéria são arrastados juntos um com o outro sob um difeomorfismo ativo. A partir dessas coincidências, pode-se formar a noção de que a matéria está localizada em relação ao campo gravitacional. Como afirma Carlo Rovelli : "Chega de campos no espaço-tempo: apenas campos nos campos." Este é o verdadeiro significado do ditado "O palco desaparece e torna-se um dos atores"; o espaço-tempo como um 'contêiner' sobre o qual a física ocorre não tem significado físico objetivo e, em vez disso, a interação gravitacional é representada como apenas um dos campos que formam o mundo.

Einstein se referiu à sua resolução como "além de minhas expectativas mais extravagantes".

Implicações da independência de fundo para algumas teorias da gravidade quântica

Gravidade quântica em loop é uma abordagem da gravidade quântica que tenta casar os princípios fundamentais do GR clássico com as características essenciais mínimas da mecânica quântica e sem exigir quaisquer novas hipóteses. Os físicos da gravidade quântica de loop consideram a independência de fundo como um princípio central em sua abordagem para quantizar a gravidade - uma simetria clássica que deve ser preservada pela teoria quântica se quisermos quantizar verdadeiramente a geometria (= gravidade). Uma conseqüência imediata é que LQG é ultravioleta finito porque distâncias pequenas e grandes são equivalentes de calibre, já que se pode substituir uma função métrica por outra relacionada à primeira por um difeomorfismo ativo. Um argumento mais preciso pode ser dado. A prova direta da finitude do LQG canônico na presença de todas as formas de matéria foi fornecida por Thiemann. No entanto, foi sugerido que a gravidade quântica em loop viola a independência de fundo ao introduzir um quadro de referência preferido (' espumas giratórias ').

A teoria perturbativa das cordas (além de uma série de formulações não perturbativas) não é "obviamente" independente do fundo, porque depende das condições de contorno no infinito, da mesma forma que a relatividade geral perturbativa não é "obviamente" dependente do fundo. No entanto, alguns setores da teoria das cordas admitem formulações em que a independência de fundo é manifesta, incluindo mais notavelmente o AdS / CFT . Acredita-se que a teoria das cordas, em geral, seja independente do background, mesmo que muitas formulações úteis não a tornem manifesta. Para uma visão contrária, veja Smolin.

Veja também

• Erich Kretschmann
• Filosofia de espaço e tempo

Referências

Origens

• Albert Einstein , HA Lorentz, H. Weyl e H. Minkowski, The Principle of Relativity (1952): Einstein, Albert (1916) "The Foundation of the General Theory of Relativity", pp. 111-164.
• Carlo Rovelli , Quantum Gravity , publicado pela Cambridge University Press (2004) ISBN  0-521-83733-2 . Uma versão preliminar pode ser baixada gratuitamente em http://www.cpt.univ-mrs.fr/~rovelli/book.pdf .
• Norton, John, The Hole Argument , The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edição da primavera de 2004), Edward N. Zalta (ed.)
• d'Inverno, Ray (1992). Apresentando a Relatividade de Einstein . Oxford: Oxford University Press . ISBN 0-19-859686-3. Consulte a seção 13.6 .
• A Física Encontra a Filosofia na Escala de Planck (Cambridge University Press).
• Joy Christian , Why the Quantum Must Yield to Gravity , e-print disponível como gr-qc / 9810078 . Aparece em Física e Filosofia na Escala de Planck (Cambridge University Press).
• Carlo Rovelli e Marcus Gaul , Loop Quantum Gravity and the Meaning of Diffeomorphism Invariance , e-print disponível como gr-qc / 9910079 .
• Robert Rynasiewicz : As lições do argumento buraco , Brit.J.Phil.Sci. vol. 45, não. 2 (1994), pp. 407–437.
• Alan Macdonald, o argumento do buraco de Einstein American Journal of Physics (fevereiro de 2001) Vol 69, Issue 2, pp. 223–225.

links externos

• Stachel, John, "The Hole Argument and Some Physical and Philosophical Implications" , Living Rev. Relativ. 17 (1) (2014).