Função Gompertz - Gompertz function

A curva de Gompertz ou função de Gompertz é um tipo de modelo matemático para uma série temporal , nomeada em homenagem a Benjamin Gompertz (1779-1865). É uma função sigmóide que descreve o crescimento como sendo mais lento no início e no final de um determinado período de tempo. A assíntota do lado direito ou de valor futuro da função é abordada muito mais gradualmente pela curva do que a assíntota do lado esquerdo ou de valor inferior. Isso está em contraste com a função logística simples em que ambas as assíntotas são abordadas pela curva simetricamente. É um caso especial da função logística generalizada. A função foi originalmente projetada para descrever a mortalidade humana, mas desde então foi modificada para ser aplicada em biologia, no que diz respeito ao detalhamento de populações.

História

Benjamin Gompertz (1779-1865) foi um atuário em Londres que teve educação privada. Ele foi eleito membro da Royal Society em 1819. A função foi apresentada pela primeira vez em seu artigo de 16 de junho de 1825, no final da página 518. A função Gompertz reduziu uma coleção significativa de dados nas tabelas de vida em uma única função. Baseia-se no pressuposto de que a taxa de mortalidade aumenta exponencialmente à medida que a pessoa envelhece. A função Gompertz resultante é para o número de indivíduos que vivem em uma determinada idade em função da idade.

O trabalho anterior na construção de modelos funcionais de mortalidade foi feito pelo matemático francês Abraham de Moivre (1667-1754) na década de 1750. No entanto, de Moivre assumiu que a taxa de mortalidade era constante. Uma extensão do trabalho de Gompertz foi proposta pelo atuário e matemático inglês William Matthew Makeham (1826-1891) em 1860, que acrescentou uma taxa de mortalidade de fundo constante à taxa de mortalidade exponencialmente crescente de Gompertz.

**Gráficos de curvas de Gompertz, mostrando o efeito de variar um de a, b, c, mantendo os outros constantes**
Variando ${\ displaystyle a}$
Variando ${\ displaystyle b}$
Variando ${\ displaystyle c}$

Fórmula

{\ displaystyle f (t) = a \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {e} ^ {b-ct}}}

Onde

a é uma assíntota, uma vez que ${\ textstyle \ lim _ {t \ to \ infty} a \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {e} ^ {b-ct}} = a \ mathrm {e} ^ {0} = a}$
b define o deslocamento ao longo do eixo x (traduz o gráfico para a esquerda ou direita). Quando b = log (2), f (0) = a / 2, também chamado de ponto médio.
c define a taxa de crescimento ( escala y )
e é o número de Euler ( e = 2,71828 ...)

Propriedades

O ponto médio é encontrado resolvendo para t. ${\ textstyle f (t) = a / 2}$

{\ displaystyle t_ {hwp} = {\ frac {b- \ ln (\ ln (2))} {c}}}

O ponto de taxa máxima de aumento ( ) é encontrado resolvendo para t.

{\ textstyle 0.368a}

{\ textstyle {\ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} f (t) = 0}

{\ displaystyle t_ {max} = \ ln (b) / c}

O aumento é

{\ textstyle t_ {max}}

{\ displaystyle \ max \ left ({\ frac {d} {df}} \ right) = {\ frac {ac} {e}}}

Derivação

A curva de função pode ser derivada de uma lei de mortalidade de Gompertz , que afirma que a taxa de mortalidade absoluta (decadência) cai exponencialmente com o tamanho atual. Matematicamente,

{\ displaystyle k ^ {r} \ propto {\ frac {1} {y (t)}}}

Onde

${\ textstyle r = {\ frac {y '(t)} {y (t)}}}$ é a taxa de crescimento
k é uma constante arbitrária.

Exemplos de uso

Exemplos de uso para curvas de Gompertz incluem:

Captação de telefones celulares , onde os custos foram inicialmente altos (portanto, a captação foi lenta), seguido por um período de rápido crescimento, seguido por uma desaceleração da captação quando a saturação foi atingida
População em um espaço confinado, conforme as taxas de natalidade primeiro aumentam e depois diminuem conforme os limites de recursos são atingidos
Modelagem de crescimento de tumores
Modelagem do impacto do mercado na dinâmica financeira e de empréstimos subnacionais agregados.
Detalhando o crescimento populacional em animais de rapina, no que diz respeito às relações predador-presa
Modelagem de células bacterianas em uma população
Examinando a propagação de doenças

Formulários

Curva de Gompertz

A biologia populacional está especialmente preocupada com a função de Gompertz. Esta função é especialmente útil para descrever o rápido crescimento de uma determinada população de organismos e, ao mesmo tempo, ser capaz de dar conta da eventual assíntota horizontal, uma vez que a capacidade de suporte é determinada (célula de platô / número da população).

É modelado da seguinte forma:

{\ displaystyle N (t) = N_ {0} \ exp (\ ln (N_ {I} / N_ {0}) (1- \ exp (-bt)))}

Onde:

está na hora
N ₀ é a quantidade inicial de células
N _I é o número de células / população de platô
b é a taxa inicial de crescimento do tumor

Essa consideração da função do número de células do platô torna-o útil para simular com precisão a dinâmica da população na vida real . A função também segue a função sigmóide , que é a convenção mais amplamente aceita de detalhamento geral do crescimento de uma população. Além disso, a função faz uso da taxa de crescimento inicial, que é comumente observada em populações de células bacterianas e cancerosas, que passam pela fase logarítmica e crescem rapidamente em número. Apesar de sua popularidade, a função da taxa inicial de crescimento do tumor é difícil de predeterminar, dados os variados microcosmos presentes em um paciente ou diversos fatores ambientais no caso da biologia populacional. Em pacientes com câncer, fatores como idade, dieta, etnia, predisposições genéticas, metabolismo , estilo de vida e origem da metástase desempenham um papel na determinação da taxa de crescimento do tumor. A capacidade de suporte também deve mudar com base nesses fatores e, portanto, descrever tais fenômenos é difícil.

Curva metabólica

A função metabólica está particularmente preocupada em explicar a taxa de metabolismo dentro de um organismo. Esta função pode ser aplicada para monitorar células tumorais; a taxa metabólica é dinâmica e muito flexível, tornando-a mais precisa no detalhamento do crescimento do câncer. A curva metabólica leva em consideração a energia que o corpo fornece para manter e criar tecidos. Essa energia pode ser considerada como metabolismo e segue um padrão específico na divisão celular. A conservação de energia pode ser usada para modelar esse crescimento, independentemente das diferentes massas e tempos de desenvolvimento. Todos os táxons compartilham um padrão de crescimento semelhante e este modelo, como resultado, considera a divisão celular, a base do desenvolvimento de um tumor.

{\ displaystyle B = \ sum _ {C} (N_ {C} B_ {C}) + \ left (E_ {C} {\ operatorname {d} \! N_ {C} \ over \ operatorname {d} \! t} \ direita)}

B = energia que o organismo usa em repouso
N _C = número de células em um determinado organismo
B _C = taxa metabólica de uma célula individual
N _C B _C = energia necessária para manter o tecido existente
E _C = energia necessária para criar um novo tecido a partir de uma célula individual

A diferenciação entre a energia usada em repouso e o trabalho da taxa metabólica permite que o modelo determine com mais precisão a taxa de crescimento. A energia em repouso é menor do que a energia usada para manter um tecido e, juntos, representam a energia necessária para manter o tecido existente. O uso desses dois fatores, juntamente com a energia necessária para criar um novo tecido, mapeia de forma abrangente a taxa de crescimento e, além disso, leva a uma representação precisa da fase de latência .

Crescimento de tumores

Na década de 1960, AK Laird, pela primeira vez, usou com sucesso a curva de Gompertz para ajustar os dados de crescimento de tumores. Na verdade, os tumores são populações celulares que crescem em um espaço confinado onde a disponibilidade de nutrientes é limitada. Denotando o tamanho do tumor como X (t), é útil escrever a Curva de Gompertz da seguinte forma:

{\ displaystyle X (t) = K \ exp \ left (\ log \ left ({\ frac {X (0)} {K}} \ right) \ exp \ left (- \ alpha t \ right) \ right) }

Onde:

X (0) é o tamanho do tumor no tempo de observação inicial;
K é a capacidade de carga, ou seja, o tamanho máximo que pode ser alcançado com os nutrientes disponíveis. Na verdade, é: ${\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow + \ infty} X (t) = K}$

independentemente em X (0)> 0. Observe que, na ausência de terapias, etc. geralmente é X (0) <K, enquanto que, na presença de terapias, pode ser X (0)> K;

α é uma constante relacionada à capacidade proliferativa das células.
log () refere-se ao log natural .

Pode-se mostrar que a dinâmica de X (t) é governada pela equação diferencial de Gompertz:

{\ displaystyle X ^ {\ prime} (t) = \ alpha \ log \ left ({\ frac {K} {X (t)}} \ right) X (t)}

ou seja, está na forma quando dividido:

{\ displaystyle X ^ {\ prime} (t) = F \ left (X (t) \ right) X (t), \ quad {\ mbox {com}} \ quad F ^ {\ prime} (X) \ leq 0,}

F (X) é a taxa de proliferação instantânea da população celular, cuja natureza decrescente se deve à competição pelos nutrientes devido ao aumento da população celular, à semelhança da taxa de crescimento logístico. No entanto, há uma diferença fundamental: no caso logístico, a taxa de proliferação para pequenas populações celulares é finita:

{\ displaystyle F (X) = \ alpha \ left (1- \ left ({\ frac {X} {K}} \ right) ^ {\ nu} \ right) \ Rightarrow F (0) = \ alpha <+ \ infty}

enquanto no caso de Gompertz a taxa de proliferação é ilimitada:

{\ displaystyle \ lim _ {X \ rightarrow 0 ^ {+}} F (X) = \ lim _ {X \ rightarrow 0 ^ {+}} \ alpha \ log \ left ({\ frac {K} {X} } \ right) = + \ infty}

Conforme observado por Steel e Wheldon, a taxa de proliferação da população celular é limitada pelo tempo de divisão celular. Assim, isso pode ser uma evidência de que a equação de Gompertz não é boa para modelar o crescimento de pequenos tumores. Além disso, mais recentemente, foi notado que, incluindo a interação com o sistema imunológico, Gompertz e outras leis caracterizadas por F (0) ilimitado impediriam a possibilidade de vigilância imunológica.

O estudo teórico de Fornalski et al. mostraram a base biofísica da curva de Gompertz para o crescimento do câncer, exceto na fase inicial, onde a função parabólica é mais apropriada. Eles descobriram também que a curva de Gompertz descreve o caso mais típico entre a ampla família das funções da dinâmica do câncer.

Crescimento de Gompertz e crescimento logístico

A equação diferencial de Gompertz

{\ displaystyle X ^ {\ prime} (t) = \ alpha \ log \ left ({\ frac {K} {X (t)}} \ right) X (t)}

é o caso limite da equação diferencial logística generalizada

{\ displaystyle X ^ {\ prime} (t) = \ alpha \ nu \ left (1- \ left ({\ frac {X (t)} {K}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ nu}} \ direita) X (t)}

(onde é um número real positivo) desde ${\ displaystyle \ nu> 0}$

{\ displaystyle \ lim _ {\ nu \ rightarrow + \ infty} \ nu \ left (1-x ^ {1 / \ nu} \ right) = - \ log \ left (x \ right)}

.

Além disso, há um ponto de inflexão no gráfico da função logística generalizada quando

{\ displaystyle X (t) = \ left ({\ frac {\ nu} {\ nu +1}} \ right) ^ {\ nu} K}

e um no gráfico da função Gompertz quando

{\ displaystyle X (t) = {\ frac {K} {e}} = K \ cdot \ lim _ {\ nu \ rightarrow + \ infty} \ left ({\ frac {\ nu} {\ nu +1} } \ right) ^ {\ nu}}

.

Modelagem da trajetória da infecção COVID-19

Função logística generalizada (curva de crescimento de Richards) na modelagem epidemiológica

Uma função logística generalizada , também chamada de curva de crescimento de Richards, é amplamente usada na modelagem das trajetórias de infecção por COVID-19 . A trajetória da infecção é uma série de dados de tempo diários para o número cumulativo de casos infectados para um assunto, como país, cidade, estado, etc. Existem outras parametrizações variantes na literatura: uma das formas mais utilizadas é

{\ displaystyle f (t; \ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3}, \ xi) = {\ frac {\ theta _ {1}} {[1+ \ xi \ exp (- \ theta _ {2} \ cdot (t- \ theta _ {3}))] ^ {1 / \ xi}}}}

onde estão os números reais, e é um número real positivo. A flexibilidade da curva deve-se ao parâmetro : (i) se então a curva se reduz à função logística, e (ii) se converge para zero, então a curva converge para a função Gompertz. Em modelos epidemiológicos, , , e representam o tamanho epidemia final, taxa de infecção, e atraso de fase, respectivamente. Veja o painel direito para uma trajetória de infecção exemplar quando são designadas por . ${\ displaystyle \ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3}}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ xi = 1}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ theta _ {1}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {2}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {3}}$ ${\ displaystyle (\ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3})}$ ${\ displaystyle (10.000,0.2,40)}$

Trajetórias de infecção extrapoladas de 40 países severamente afetados pelo COVID-19 e grande (população) média até 14 de maio

Um dos benefícios de usar a função de crescimento, como a função logística generalizada na modelagem epidemiológica, é sua expansão relativamente fácil para a estrutura do modelo multinível , usando a função de crescimento para descrever as trajetórias de infecção de vários assuntos (países, cidades, estados, etc.). Veja a figura acima. Essa estrutura de modelagem também pode ser amplamente chamada de modelo não linear de efeitos mistos ou modelo não linear hierárquico.

Lei de crescimento de Gomp-ex

Com base nas considerações acima, Wheldon propôs um modelo matemático de crescimento do tumor, denominado modelo Gomp-Ex, que modifica ligeiramente a lei de Gompertz. No modelo Gomp-Ex assume-se que inicialmente não há competição por recursos, de forma que a população celular se expande seguindo a lei exponencial. No entanto, há um limite de tamanho crítico para . A suposição de que não há competição por recursos é verdadeira na maioria dos cenários. No entanto, pode ser afetado por fatores limitantes , o que requer a criação de variáveis de subfatores. ${\ displaystyle X_ {C}}$ ${\ displaystyle X> X_ {C}}$

o crescimento segue a Lei de Gompertz:

{\ displaystyle F (X) = \ max \ left (a, \ alpha \ log \ left ({\ frac {K} {X}} \ right) \ right)}

de modo a:

{\ displaystyle X_ {C} = K \ exp \ left (- {\ frac {a} {\ alpha}} \ right).}

Aqui estão algumas estimativas numéricas para : ${\ displaystyle X_ {C}}$

${\ textstyle X_ {C} \ aprox. 10 ^ {9}}$ para tumores humanos
${\ textstyle X_ {C} \ aprox. 10 ^ {6}}$ para tumores murinos (camundongos)

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