Função Gimel - Gimel function

Na teoria dos conjuntos axiomáticos , a função gimel é a seguinte função que mapeia números cardinais em números cardinais:

${\ displaystyle \ gimel \ colon \ kappa \ mapsto \ kappa ^ {\ mathrm {cf} (\ kappa)}}$

onde cf denota a função de cofinalidade ; a função gimel é usada para estudar a função contínua e a função de exponenciação cardinal . O símbolo é uma forma serifada da letra hebraica gimel . ${\ displaystyle \ gimel}$

Valores da função gimel

A função gimel tem a propriedade para todos os cardinais infinitos κ pelo teorema de König . ${\ displaystyle \ gimel (\ kappa)> \ kappa}$

Para cardeais regulares , e o teorema de Easton diz que não sabe muito sobre os valores dessa função. Para singulares , limites superiores para podem ser encontrados a partir de Selá 's teoria PCF . ${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ gimel (\ kappa) = 2 ^ {\ kappa}}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ gimel (\ kappa)}$

A hipótese do gimel

A hipótese do gimel afirma isso . Em essência, isso significa que para o singular é o menor valor permitido pelos axiomas da teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel (assumindo consistência). ${\ displaystyle \ gimel (\ kappa) = \ max (2 ^ {{\ text {cf}} (\ kappa)}, \ kappa ^ {+})}$${\ displaystyle \ gimel (\ kappa)}$${\ displaystyle \ kappa}$

Sob essa hipótese, a exponenciação cardinal é simplificada, embora não na extensão da hipótese do contínuo (que implica a hipótese de gimel).

Reduzindo a função de exponenciação para a função gimel

Bukovský (1965) mostrou que toda exponenciação cardinal é determinada (recursivamente) pela função gimel como segue.

• Se κ for um cardinal regular infinito (em particular, qualquer sucessor infinito), então${\ displaystyle 2 ^ {\ kappa} = \ gimel (\ kappa)}$
• Se κ for infinito e singular e a função contínua for eventualmente constante abaixo de κ, então${\ displaystyle 2 ^ {\ kappa} = 2 ^ {<\ kappa}}$
• Se κ for um limite e a função contínua não for eventualmente constante abaixo de κ, então${\ displaystyle 2 ^ {\ kappa} = \ gimel (2 ^ {<\ kappa})}$

As regras restantes são válidas sempre que κ e 𝜆 são infinitos:

• Se ℵ ₀ ≤ κ ≤ λ então κ ^λ = 2 ^λ
• Se μ ^λ ≥ κ para algum μ < κ, então κ ^λ = μ ^λ
• Se κ > λ e μ ^λ < κ para todos os μ < κ e cf ( κ ) ≤ λ, então κ ^λ = κ ^{cf (κ)}
• Se κ > λ e μ ^λ < κ para todos os μ < κ e cf ( κ )> λ, então κ ^λ = κ

Veja também

• Número de Aleph
• Número da Beth

Referências

• Bukovský, L. (1965), "The continuum problem and powers of alephs", Comment. Matemática. Univ. Carolinae , 6 : 181–197, hdl : 10338.dmlcz / 105009 , MR  0183649
• Jech, Thomas J. (1973), "Propriedades da função gimel e uma classificação de cardeais singulares" (PDF) , Fund. Matemática. , Coleção de artigos dedicados a Andrzej Mostowski por ocasião de seu sexagésimo aniversário, I., 81 (1): 57–64, doi : 10.4064 / fm-81-1-57-64 , MR  0389593
• Thomas Jech , Set Theory , 3rd millennium ed., 2003, Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN  3-540-44085-2 .