teorema de König (teoria dos conjuntos) - König's theorem (set theory)

Em teoria dos conjuntos , teorema de König afirma que, se o axioma da escolha segura, I é um conjunto , e são números cardinais para cada i em I , e para cada i em I , em seguida,

A soma aqui é a cardinalidade da união disjunta dos conjuntos sou eu , e o produto é a cardinalidade do produto cartesiano . No entanto, sem o uso do axioma da escolha, a soma eo produto não pode ser definida como números cardinais, eo significado do sinal desigualdade precisaria ser esclarecida.

O teorema de König foi introduzido por König  ( 1904 ) sob a forma ligeiramente mais fraca do que a soma da sequência estritamente crescente de números cardeais diferentes de zero é menor do que o produto.

detalhes

A declaração precisa do resultado: se eu é um conjunto , A i e B i são conjuntos para cada i em I , e para cada i em I , em seguida,

onde < significa estritamente menor do que em cardinalidade , ou seja, há uma injective função de A i para B i , mas não um que vai para o outro lado. O sindicato envolvido não precisa ser separados (uma união não disjuntos não pode ser maior do que a versão disjuntos, assumindo também o axioma da escolha ). Nesta formulação, o teorema de König é equivalente ao axioma da escolha .

(Claro, o teorema de König é trivial se os números cardinais m i e n i são finita e o conjunto de índices I é finito. Se I é vazio , então a soma esquerda é a soma vazia e, por conseguinte, 0, enquanto que o produto direita é a produto vazio e, por conseguinte, um).

Teorema de König é notável por causa da desigualdade estrita na conclusão. Existem muitas regras fáceis para a aritmética de somas e produtos de cardeais infinitos em que só se pode concluir um fraco ≤ desigualdade, por exemplo: se para todos i em I , em seguida, só se pode concluir

uma vez que, por exemplo, estabelecendo e , onde o índice de definir I é os números naturais, produz a soma de ambos os lados, e que tem uma estrita igualdade.

Corolários do teorema de König

  • Se é um cardeal, então .

Se tomarmos m i = 1, e n i = 2 para cada i na κ, em seguida, o lado esquerdo da desigualdade acima é apenas κ, enquanto que o lado direito é 2 κ , a cardinalidade de funções de κ a {0, 1 }, ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de κ. Assim, o teorema de König nos dá uma prova alternativa de teorema de Cantor . (Historicamente do teorema curso de Cantor foi provado muito mais cedo.)

Axioma da escolha

Uma maneira de afirmar o axioma da escolha é "um produto cartesiano arbitrária de conjuntos não vazios não é vazio". Deixe- B i ser um conjunto não vazio para cada i no eu . Deixe A i = {} para cada i em I . Assim, pelo teorema de König, temos:

  • Se , então .

Ou seja, o produto cartesiano do dado conjuntos não vazios B i tem uma cardinalidade maior do que a soma de conjunto vazio. Assim, é não-vazia, que é exatamente o que o axioma de estados de escolha. Desde o axioma da escolha decorre do teorema de König, vamos usar o axioma da escolha livremente e de forma implícita quando se discute consequências do teorema.

teorema e cofinalidade de König

Teorema de König também tem consequências importantes para cofinalidade de números cardinais.

  • Se , então .

Escolha um cf (κ) -sequence estritamente crescente dos ordinais aproximando κ. Cada um deles é inferior a κ, pelo que a sua soma, que é κ, é menor do que o produto de CF (k) cópias de κ.

De acordo com o teorema de Easton , o próximo conseqüência do teorema de König é a única restrição não trivial sobre a função do contínuo para cardeais regulares .

  • Se e , em seguida, .

Vamos . Suponha que, ao contrário desta corolário, . Em seguida, usando o corolário anterior, uma contradição. Assim, a suposição deve ser falso, e este corolário deve ser verdade.

A prova do teorema de König

Assumindo Zermelo-Fraenkel , incluindo especialmente o axioma da escolha , podemos provar o teorema. Lembre-se que nos é dado , e queremos mostrar:

O axioma da escolha implica que a condição de A < B é equivalente à condição de que não existe qualquer função de um para B e B é não vazio. Então, nós estamos tendo em conta que não há nenhuma função de A i na B i ≠ {}, e nós temos que mostrar que qualquer função f a partir da união disjunta da A s ao produto do B s não é surjective e que o produto é não vazio. Que o produto não esteja vazia segue imediatamente do axioma da escolha e do fato de que os fatores são não vazio. Para cada i escolher uma b i na B i não na imagem de um eu sob a composição de f com a projecção de B i . Em seguida, o produto dos elementos de b i não está na imagem de F , então f não mapeia a união separado do Um s para o produto do B s.

Notas

  1. ^ Rubin, H .; Rubin, JE (1985). Equivalentes do axioma da escolha, II . New York, NY: Holanda do Norte . p. 185. ISBN  0-444-87708-8 .

Referências