Teorema da média geométrica - Geometric mean theorem

área do quadrado cinza = área do retângulo cinza: ${\ displaystyle h ^ {2} = pq \ Leftrightarrow h = {\ sqrt {pq}}}$

O teorema da altitude do triângulo retângulo ou teorema da média geométrica é um resultado na geometria elementar que descreve uma relação entre a altitude na hipotenusa em um triângulo retângulo e os dois segmentos de linha que ele cria na hipotenusa. Ele afirma que a média geométrica dos dois segmentos é igual à altitude.

Teorema e aplicações

Construção de √ p definindo q para 1

Se h denota a altitude em um triângulo retângulo ep e q os segmentos na hipotenusa, então o teorema pode ser declarado como:

${\ displaystyle h = {\ sqrt {pq}}}$

ou em termos de áreas:

${\ displaystyle h ^ {2} = pq.}$

Desigualdade AM-GM

A última versão produz um método para quadrar um retângulo com régua e compasso , ou seja, construir um quadrado de área igual a um determinado retângulo. Para tal um rectângulo com os lados p e q que denotam a sua parte superior à esquerda vértice com D . Agora estendemos o segmento q à sua esquerda por p (usando o arco AE centrado em D ) e desenhamos um semicírculo com os pontos finais A e B com o novo segmento p + q como seu diâmetro. Em seguida, erguer uma linha perpendicular ao diâmetro D , que intersecta o círculo em metade C . Devido ao teorema C de Tales e ao diâmetro, forme um triângulo retângulo com o segmento de linha DC como sua altitude, portanto, DC é o lado de um quadrado com a área do retângulo. O método também permite a construção de raízes quadradas (ver número construtível ), uma vez que partindo de um retângulo de largura 1, o quadrado construído terá um comprimento lateral igual à raiz quadrada do comprimento do retângulo.

Outra aplicação de fornece uma prova geométrica da desigualdade AM – GM no caso de dois números. Para os números de p e q um constrói um meio círculo com diâmetro p + q . Agora, a altitude representa a média geométrica e o raio, a média aritmética dos dois números. Como a altitude é sempre menor ou igual ao raio, isso resulta na desigualdade.

teorema da média geométrica como um caso especial do teorema da corda :
${\ displaystyle | CD || DE | = | AD || DB | \ Leftrightarrow h ^ {2} = pq}$

O teorema também pode ser pensado como um caso especial do teorema dos acordes que se cruzam para um círculo, uma vez que o inverso do teorema de Tales garante que a hipotenusa do triângulo retângulo é o diâmetro de seu circunferência .

A afirmação inversa também é verdadeira. Qualquer triângulo, em que a altitude é igual à média geométrica dos dois segmentos de linha criados por ele, é um triângulo retângulo.

História

O teorema é geralmente atribuído a Euclides (ca. 360–280 aC), que o declarou como um corolário da proposição 8 no livro VI de seus Elementos . Na proposição 14 do livro II, Euclides fornece um método para fazer a quadratura de um retângulo, que essencialmente corresponde ao método dado aqui. Euclides, no entanto, fornece uma prova diferente um pouco mais complicada para a correção da construção, em vez de confiar no teorema da média geométrica.

Prova

Com base na semelhança

${\ displaystyle \ triangulo ABC \ sim \ triangulo ADC \ sim \ triangulo DBC}$

Prova do teorema :

Os triângulos e são semelhantes , pois: ${\ displaystyle \ triângulo ADC}$${\ displaystyle \ triangle BCD}$

• considerar triângulos , aqui temos e , portanto, pelo postulado de AA${\ displaystyle \ triângulo ABC, \ triângulo ACD}$${\ displaystyle \ angle ACB = \ angle ADC = 90 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ angle BAC = \ angle CAD}$ ${\ displaystyle \ triângulo ABC \ sim \ triângulo ACD}$
• além disso, considere os triângulos , aqui temos e , portanto, pelo postulado de AA${\ displaystyle \ triangulo ABC, \ triangulo BCD}$${\ displaystyle \ angle ACB = \ angle BDC = 90 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ angle ABC = \ angle CBD}$${\ displaystyle \ triangle ABC \ sim \ triangle BCD}$

Portanto, ambos os triângulos e são semelhantes a , e se, ou seja . ${\ displaystyle \ triângulo ACD}$${\ displaystyle \ triangle BCD}$${\ displaystyle \ triângulo ABC}$${\ displaystyle \ triangulo ACD \ sim \ triangulo ABC \ sim \ triangulo BCD}$

Por causa da similaridade, obtemos a seguinte igualdade de proporções e seu rearranjo algébrico produz o teorema :.

${\ displaystyle {\ frac {h} {p}} = {\ frac {q} {h}} \, \ Leftrightarrow \, h ^ {2} = pq \, \ Leftrightarrow \, h = {\ sqrt {pq }} \ qquad (h, p, q> 0)}$

Prova de conversa:

Pelo contrário, temos um triângulo no qual se mantém e precisa mostrar que o ângulo em C é um ângulo reto. Agora, por causa de nós também temos . Junto com os triângulos e têm um ângulo de igual tamanho e têm pares de pernas correspondentes com a mesma proporção. Isso significa que os triângulos são semelhantes, o que resulta em: ${\ displaystyle \ triângulo ABC}$${\ displaystyle h ^ {2} = pq}$${\ displaystyle h ^ {2} = pq}$${\ displaystyle {\ tfrac {h} {p}} = {\ tfrac {q} {h}}}$${\ displaystyle \ angle ADC = \ angle CDB}$${\ displaystyle \ triângulo ADC}$${\ displaystyle \ triangle BDC}$

${\ displaystyle \ ângulo ACB = \ ângulo ACD + \ ângulo DCB = \ ângulo ACD + (90 ^ {\ circ} - \ ângulo DBC) = \ ângulo ACD + (90 ^ {\ circ} - \ ângulo ACD) = 90 ^ {\ circ}}$

Com base no teorema de Pitágoras

Prova com o teorema de Pitágoras

Na configuração do teorema da média geométrica, existem três triângulos retângulos , e , em que o teorema de Pitágoras produz: ${\ displaystyle \ triângulo ABC}$${\ displaystyle \ triângulo ADC}$${\ displaystyle \ triangle DBC}$

${\ displaystyle h ^ {2} = a ^ {2} -q ^ {2}}$, e${\ displaystyle h ^ {2} = b ^ {2} -p ^ {2}}$${\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}$

Adicionar as 2 primeiras equações e usar a terceira leva a:

${\ displaystyle 2h ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -p ^ {2} -q ^ {2} = c ^ {2} -p ^ {2} -q ^ {2} = (p + q) ^ {2} -p ^ {2} -q ^ {2} = 2pq}$.

Uma divisão por dois finalmente resulta na fórmula do teorema da média geométrica.

Com base na dissecção e rearranjo

Dissecando o triângulo direita ao longo da sua altura h produz dois triângulos semelhantes, que pode ser aumentada e dispostas em duas formas alternativas para um triângulo com lados perpendiculares maiores comprimentos de p + H e q + h . Um desses arranjos requer um quadrado de área h ² para completá-lo, o outro um retângulo de área pq . Como os dois arranjos produzem o mesmo triângulo, as áreas do quadrado e do retângulo devem ser idênticas.

Com base em mapeamentos de cisalhamento

O quadrado da altura pode ser transformado num rectângulo de igual área com lados p e q , com a ajuda de três mapeamentos de cisalhamento (shear mapeamentos de preservar a área):

Mapeamentos de cisalhamento com suas linhas fixas associadas (pontilhadas), começando com o quadrado original como pré-imagem, cada paralelogramo exibe a imagem de um mapeamento de cisalhamento da figura à esquerda dele

Referências

links externos

• Média geométrica no corte do nó