operador de Gauss-Kuzmin-Wirsing - Gauss–Kuzmin–Wirsing operator

Em matemática , o operador de Gauss-Kuzmin-Wirsing é o operador de transferência da aplicação de Gauss.

Nome

É nomeado após:

• Carl Gauss
• Rodion Osievich Kuzmin
• Eduard Wirsing

Importância

Ocorre no estudo de fracções contínuas ; ele também está relacionado com a função zeta de Riemann .

Relação com os mapas e fracções contínuas

O mapa de Gauss

A função de Gauss (mapa) h é:

${\ Displaystyle h (x) = 1 / x \ lfloor 1 / x \ rfloor.}$

Onde:

• ${\ Displaystyle \ lfloor 1 / x \ rfloor}$denota função do assoalho

Ele tem um número infinito de descontinuidades de salto em x = 1 / n, para n inteiros positivos. É difícil aproximar-lo por um único polinômio suave.

operador nos mapas

A Gauss-Kuzmin-Wirsing operador atua em funções como ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle [Gf] (x) = \ soma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(x + n) ^ {2}}} f \ a esquerda ({\ frac {1 } {x + n}} \ right).}$

Valores próprios do operador

O primeiro autofunção deste operador é

${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ ln 2}} \ {\ frac {1} {1 + x}}}$

o que corresponde a um valor próprio de λ ₁ = 1. Este autofunção dá a probabilidade da ocorrência de um determinado número inteiro em uma expansão fracção contínua, e é conhecida como a distribuição de Gauss-Kuzmin . Isto resulta, em parte, porque a aplicação de Gauss actua como um truncamento de operador de deslocamento para as fracções contínuas : se

${\ Displaystyle x = [0; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ pontos]}$

é a representação fracção contínua de um número 0 <  x  <1, então

${\ Displaystyle h (x) = [0; A_ {2}, a_ {3}, \ pontos].}$

Autovalores adicionais podem ser computados numericamente; o próximo valor próprio é λ ₂ = -,3036630029 ... (sequência A038517 no OEIS ) e o seu valor absoluto é conhecida como a constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing . Formas analíticas para funções próprias adicionais não são conhecidos. Não se sabe se os valores próprios são irracionais .

Vamos organizar os valores próprios do operador Gauss-Kuzmin-Wirsing de acordo com um valor absoluto:

${\ Displaystyle 1 = | \ lambda _ {1} | \ geq | \ lambda _ {2} | \ geq | \ lambda _ {3} |. \ Geq \ cdots}$

Foi conjecturado em 1995 por Philippe Flajolet e Brigitte Vallée que

${\ Displaystyle \ lim \ limites _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ lambda _ {n}} {\ lambda _ {n + 1}}} = - \ phi ^ {2}, {\ text { onde}} \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}.}$

Em 2014, Giedrius Alkauskas provou esta conjectura. Além disso, o seguinte resultado assintótica detém:

${\ Displaystyle (-1) ^ {n + 1} \ lambda _ {n} = \ phi ^ {-} 2n + C \ cdot {\ frac {\ phi ^ {- 2n}} {\ sqrt {n}} } + d (n) \ cdot {\ frac {\ phi ^ {- 2n}} {n}}, {\ texto {onde}} C = {\ frac {{\ sqrt [{4}] {5}} \ cdot \ zeta (3/2)} {2 {\ sqrt {\ pi}}}} = 1,1019785625880999 _ {+};}$

aqui a função é limitada, e é a função zeta de Riemann . ${\ Displaystyle d (n)}$${\ Displaystyle \ zeta (\ star)}$

espectro contínuo

Os valores próprios formar um espectro discreto, quando o operador está limitado a agir em funções no intervalo unitário da linha número real. De forma mais ampla, uma vez que o mapa Gauss é o operador de deslocamento no espaço de Baire , o operador GKW pode também ser visto como um operador no espaço funcional (considerado como um espaço de Banach , com funções de base tomado como as funções dos indicadores sobre os cilindros do topologia produto ). No último caso, que tem um espectro contínuo, com valores próprios no disco unidade do plano complexo. Isto é, dado o cilindro , o operador G desloca para a esquerda: . Tomando -se a função do indicador que é um sobre o cilindro (quando ), e zero, caso contrário, tem-se que . As séries ${\ Displaystyle \ mathbb {N} ^ {\ omega}}$${\ Displaystyle \ mathbb {N} ^ {\ omega} \ a \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle | \ lambda | <1}$${\ Displaystyle C_ {n} [b] = \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ cdots) \ in \ mathbb {N} ^ {\ omega}: a_ {n} = b \}}$${\ Displaystyle GC_ {n} [b] = C_ {n-1} [b]}$${\ R_ displaystyle {n, b} (x)}$${\ Displaystyle x \ em C_ {n} [b]}$${\ Displaystyle Gr_ {n, b} = r_ {n-1, b}}$

${\ Displaystyle f (x) = \ soma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lambda ^ {n-1} {n r_, b} (x)}$

em seguida, é um autofunção com valores próprios . Ou seja, tem-se sempre que o somatório converge: isto é, quando . ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle [Gf] (x) = \ lambda f (x)}$${\ Displaystyle | \ lambda | <1}$

Um caso especial surge quando se quer considerar a medida de Haar do operador de deslocamento, isto é, uma função que é invariante sob mudanças. Esta é dada pela medida Minkowski . Ou seja, tem-se que .${\ Displaystyle? ^ {\ Privilegiada}}$${\ Displaystyle G? ^ {\ Privilegiada} =? ^ {\ Privilegiada}}$

Relação com o zeta de Riemann

O operador GKW está relacionado com a função zeta de Riemann . Note que a função zeta pode ser escrita como

${\ Displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {s-1}} - s \ int _ {0} ^ {1} h (x) x ^ {s-1} \; dx}$

o que implica que

${\ Displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {s} {s-1}} - s \ int _ {0} ^ {1} x \ esquerda [Gx ^ {s-1} \ direita] \, dx }$

por mudança de variável.

elementos de matriz

Considere as da série de Taylor expansões em x = 1 para uma função f ( x ) e . Isto é, que ${\ Displaystyle g (x) = [Gf] (x)}$

${\ Displaystyle f (1-x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- x) ^ {n} {\ frac {f ^ {(n)} (1)} {n}! }}$

e escrever da mesma forma para g ( x ). A expansão é feita sobre x  = 1 porque o operador GKW é mal comportado em x  = 0. A expansão é feita cerca de 1-x para que possamos mantê- x um número positivo, 0 ≤  x  ≤ 1. Em seguida, o operador GKW atua sobre os coeficientes de Taylor como

${\ Displaystyle (-1) ^ {m} {\ frac {g ^ {(m)} (1)} {m!}} = \ Soma _ {n = 0} ^ {\ infty} G_ {mn} ( -1) ^ {n} {\ frac {f {^ (n)} (1)} {n!}},}$

onde os elementos de matriz do operador GKW são dadas pela

${\ Displaystyle G_ {mn} = \ soma _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {n \ escolher k} {k + m + 1 \ escolher m} \ esquerda [\ zeta ( k + m + 2) -1 \ direita].}$

Este operador é extremamente bem formada, e, portanto, muito numericamente tratável. A constante de Gauss-Kuzmin é facilmente calculado a alta precisão por numericamente diagonalização canto superior esquerdo N por N da porção. Não há conhecida expressão de forma fechada que diagonaliza este operador; isto é, não há expressão de forma fechada conhecidos para os vectores eigen.

Riemann zeta

O zeta de Riemann pode ser escrita como

${\ Displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {s} {s-1}} - s \ soma _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {s-1 \ escolher n t_} {n}}$

onde o são dadas pelos elementos da matriz acima: ${\ Displaystyle T_ {n}}$

${\ Displaystyle T_ {n} = \ _ {soma m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {G_ {mn}} {(M + 1) (m + 2)}}.}$

Realizando os somatórios, obtém-se:

${\ Displaystyle t_} {n = 1- \ gamma + \ _ {soma k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k} {n \ escolher k} \ esquerda [{\ frac {1} {k }} - {\ frac {\ zeta (k + 1)} {k + 1}} \ direita]}$

onde representa a constante de Euler-Mascheroni . Estes jogar o analógico das constantes Stieltjes , mas para o factorial caindo expansão. Por escrito ${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle T_ {n}}$

${\ Displaystyle a_ {n} = t_ {n} - {\ frac {1} {2 (n + 1)}}}$

se obtém: um ₀ = -,0772156 ... e um ₁ = -,00474863 ... e assim por diante. Os valores começar pequeno rapidamente, mas são oscilatório. Algumas somas explícitas sobre esses valores podem ser executadas. Eles podem ser explicitamente relacionadas com as constantes Stieltjes por re-expressando o fatorial caindo como um polinômio com Stirling número coeficientes, e depois resolver. Mais geralmente, o Riemann zeta pode ser re-expressos como uma expansão em termos de sequências Sheffer de polinómios.

Esta expansão da Riemann zeta é investigada nas seguintes referências. Os coeficientes estão diminuindo como

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {2n} {\ pi}} \ right) ^ {1/4} e ^ {- {\ sqrt {4 \ pi n}}} \ cos \ left ({\ sqrt { 4 \ pi n}} - {\ frac {5 \ pi} {8}} \ direita) + {\ mathcal {O}} \ esquerda ({\ frac {e ^ {- {\ sqrt {4 \ pi n} }}} {n ^ {1/4}}} \ right).}$

Referências

referências gerais

• A. Ya. Khinchin , frações contínuas , 1935, tradução Inglês University of Chicago Press, 1961 ISBN  0-486-69630-8 (Veja seção 15).
• KI Babenko, em um problema de Gauss , matemático soviético Doklady 19 : 136-140 (1978) MR 472746
• KI Babenko e SP Jur'ev, da discretização de um problema de Gauss , Soviética Matemática Doklady 19 : 731-735 (1978). MR 499751
• A. Durner, Em um Teorema de Gauss-Kuzmin-Lévy. Arco. Matemática. 58 , 251-256, (1992). MR 1148200
• AJ MacLeod, de alta precisão valores numéricos dos problema de fração Gauss-Kuzmin Continuação. Computadores Math. Appl. 26 , 37-44, (1993).
• E. Wirsing, no teorema de Gauss-Kuzmin-Lévy e uma Frobenius-Type Teorema de espaços funcionais. Acta Arith. 24 , 507-528, (1974). MR 337868

Outras leituras

• Keith Briggs, um cálculo preciso da constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing (2003) (Contém uma extensa coleção de referências.)
• Phillipe Flajolet e Brigitte Valle , na constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing (1995).
• Linas Vepstas O Bernoulli, o operador Gauss-Kuzmin-Wirsing, eo Riemann Zeta (2004) (PDF)

links externos

• Weisstein, Eric W. "Gauss-Kuzmin-Wirsing Constant" . MathWorld .
• OEIS A038517 sequência (expansão decimal de Gauss-Kuzmin-Wirsing constante)