Manifold G ₂ - G₂ manifold

Em geometria diferencial , uma variedade G ₂ é uma variedade Riemanniana de sete dimensões com grupo de holonomia contido em G ₂ . O grupo é um dos cinco grupos de Lie simples excepcionais . Ele pode ser descrito como o grupo de automorfismo das octonions , ou equivalentemente, como um subgrupo apropriado do grupo ortogonal especial SO (7) que preserva um espinor na representação de espinor de oito dimensões ou por último como o subgrupo do grupo linear geral GL ( 7) que preserva a forma 3 não degenerada , a forma associativa. O Hodge dupla , é, em seguida, um 4-forma paralela, a forma coassociative. Essas formas são calibrações no sentido de Reese Harvey e H. Blaine Lawson e, portanto, definem classes especiais de subvariedades tridimensionais e quadridimensionais. ${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ psi = * \ phi}$

Propriedades

Todos -variedade são 7-dimensionais, Ricci-plana , orientáveis manifolds de spin . Além disso, qualquer variedade compacta com holonomia igual a tem grupo fundamental finito , primeira classe Pontryagin diferente de zero e terceiro e quarto números de Betti diferentes de zero . ${\ displaystyle G_ {2}}$ ${\ displaystyle G_ {2}}$

História

O fato de que pode ser possivelmente o grupo de holonomia de certas variedades Riemannianas de 7 foi sugerido pela primeira vez pelo teorema de classificação de 1955 de Marcel Berger , e isso permaneceu consistente com a prova simplificada fornecida posteriormente por Jim Simons em 1962. Embora nenhum exemplo de tal uma variedade ainda tinha sido descoberta, Edmond Bonan, no entanto, deu uma contribuição útil ao mostrar que, se tal variedade de fato existisse, carregaria uma forma paralela de 3 e uma forma paralela de 4, e que seria necessariamente Ricci -apartamento. ${\ displaystyle G_ {2}}$

Os primeiros exemplos locais de 7-variedades com holonomia foram finalmente construídos por volta de 1984 por Robert Bryant , e sua prova completa de sua existência apareceu nos Anais em 1987. Em seguida, 7-variedades completas (mas ainda não compactas) com holonomia foram construídas por Bryant e Simon Salamon em 1989. As primeiras variedades compactas de 7 com holonomia foram construídas por Dominic Joyce em 1994. As variedades compactas são, portanto, às vezes conhecidas como "variedades de Joyce", especialmente na literatura de física. Em 2013, foi mostrado por M. Firat Arikan, Hyunjoo Cho e Sema Salur que qualquer variedade com uma estrutura de spin e, portanto, uma estrutura, admite uma estrutura métrica de quase contato compatível, e uma estrutura de quase contato compatível explícita era construído para manifolds com estrutura. No mesmo artigo, foi mostrado que certas classes de -variedades admitem uma estrutura de contato. ${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$

Em 2015, uma nova construção de manifolds compactos , devido a Alessio Corti , Mark Haskins, Johannes Nordstrőm e Tommaso Pacini, combinou uma ideia de colagem sugerida por Simon Donaldson com novas técnicas algebro-geométricas e analíticas para construir manifolds Calabi – Yau com extremidades cilíndricas , resultando em dezenas de milhares de tipos de difeomorfismo de novos exemplos. ${\ displaystyle G_ {2}}$

Conexões com a física

Essas variedades são importantes na teoria das cordas . Eles quebram a supersimetria original para 1/8 do valor original. Por exemplo, a teoria M compactada em uma variedade leva a uma teoria realista quadridimensional (11-7 = 4) com N = 1 supersimetria. A supergravidade efetiva de baixa energia resultante contém um único supermultipleto de supergravidade , um número de supermultipletos quirais igual ao terceiro número de Betti da variedade e um número de supermultipletos vetoriais U (1) igual ao segundo número de Betti. Recentemente, foi demonstrado que as estruturas de quase contato (construídas por Sema Salur et al.) Desempenham um papel importante na geometria ". ${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {2}}$

Veja também

• Spin (7) -variedade
• Manifold Calabi – Yau

Referências

Leitura adicional

• Becker, Katrin; Becker, Melanie; Schwarz, John H. (2007), "Manifolds with G ₂ and Spin (7) holonomy", String Theory and M-Theory: A Modern Introduction , Cambridge University Press, pp. 433–455, ISBN   978-0-521-86069-7 .
• Fernandez, M .; Gray, A. (1982), "Riemannian manifolds with structure group G ₂ ", Ann. Esteira. Pura Appl. , 32 : 19-845, doi : 10.1007 / BF01760975 .
• Karigiannis, Spiro (2011), "What Is... A G ₂ -Manifold?" (PDF) , Avisos AMS , 58 (04): 580–581 .