Notação de barra de Feynman - Feynman slash notation

No estudo dos campos de Dirac na teoria quântica de campos , Richard Feynman inventou a conveniente notação de barra de Feynman (menos comumente conhecida como notação de barra de Dirac ). Se A for um vetor covariante (ou seja, uma forma 1 ),

${\ displaystyle {A \! \! \! /} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ gamma ^ {\ mu} A _ {\ mu}}$

usando a notação de soma de Einstein onde γ são as matrizes gama .

Identidades

Usando os anticommutadores das matrizes gama, pode-se mostrar que para qualquer e , ${\ displaystyle a _ {\ mu}}$${\ displaystyle b _ {\ mu}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {a \! \! \! /} {a \! \! \! /} & \ equiv a ^ {\ mu} a _ {\ mu} \ cdot I_ {4} = a ^ {2} \ cdot I_ {4} \\ {a \! \! \! /} {b \! \! \! /} + {b \! \! \! /} {a \! \! \! /} & \ equiv 2a \ cdot b \ cdot I_ {4}. \ end {alinhado}}}$

onde está a matriz de identidade em quatro dimensões. ${\ displaystyle I_ {4}}$

Em particular,

${\ displaystyle {\ partial \! \! \! /} ^ {2} \ equiv \ partial ^ {2} \ cdot I_ {4}.}$

Outras identidades podem ser lidas diretamente das identidades da matriz gama , substituindo o tensor métrico por produtos internos . Por exemplo,

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {tr} ({a \! \! \! /} {b \! \! \! /}) & \ equiv 4a \ cdot b \\\ operatorname {tr} ({a \! \! \! /} {b \! \! \! /} {c \! \! \! /} {d \! \! \! /}) & \ equiv 4 \ left [( a \ cdot b) (c \ cdot d) - (a \ cdot c) (b \ cdot d) + (a \ cdot d) (b \ cdot c) \ right] \\\ operatorname {tr} (\ gamma _ {5} {a \! \! \! /} {B \! \! \! /} {C \! \! \! /} {D \! \! \! /}) & \ Equiv 4i \ psilon _ {\ mu \ vare \ lambda \ sigma} a ^ {\ mu} b ^ {\ nu} c ^ {\ lambda} d ^ {\ sigma} \\\ gamma _ {\ mu} {a \! \ ! \! /} \ gamma ^ {\ mu} & \ equiv -2 {a \! \! \! /} \\\ gamma _ {\ mu} {a \! \! \! /} {b \! \! \! /} \ gamma ^ {\ mu} & \ equiv 4a \ cdot b \ cdot I_ {4} \\\ gamma _ {\ mu} {a \! \! \! /} {b \! \ ! \! /} {c \! \! \! /} \ gamma ^ {\ mu} & \ equiv -2 {c \! \! \! /} {b \! \! \! /} {a \ ! \! \! /} \\\ end {alinhado}}}$

onde está o símbolo Levi-Civita . ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ mu \ nu \ lambda \ sigma}}$

Com quatro momentum

Muitas vezes, ao usar a equação de Dirac e resolver para seções transversais, encontra-se a notação de barra usada em quatro momentos : usando a base de Dirac para as matrizes gama,

${\ displaystyle \ gamma ^ {0} = {\ begin {pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \ end {pmatrix}}, \ quad \ gamma ^ {i} = {\ begin {pmatrix} 0 & \ sigma ^ {i } \\ - \ sigma ^ {i} & 0 \ end {pmatriz}} \,}$

bem como a definição de quatro momentos,

${\ displaystyle p _ {\ mu} = \ left (E, -p_ {x}, - p_ {y}, - p_ {z} \ right) \,}$

nós vemos explicitamente que

${\ displaystyle {\ begin {align} {p \! \! /} & = \ gamma ^ {\ mu} p _ {\ mu} = \ gamma ^ {0} p_ {0} - \ gamma ^ {i} p_ {i} \\ & = {\ begin {bmatrix} p_ {0} & 0 \\ 0 & -p_ {0} \ end {bmatrix}} - {\ begin {bmatrix} 0 & \ sigma ^ {i} p_ {i} \\ - \ sigma ^ {i} p_ {i} & 0 \ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} E & - {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}} \ \ {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {p}} & - E \ end {bmatrix}}. \ end {alinhado}}}$

Resultados semelhantes são válidos em outras bases, como a base de Weyl .

Veja também

• Base Weyl
• Matrizes gama

Referências