Quadrados médios esperados - Expected mean squares

Em estatística , os quadrados médios esperados (EMS) são os valores esperados de certas estatísticas que surgem em partições de somas de quadrados na análise de variância (ANOVA). Eles podem ser usados ​​para determinar qual estatística deve aparecer no denominador em um teste F para testar uma hipótese nula de que um determinado efeito está ausente.

Definição

Quando a soma total corrigida dos quadrados em uma ANOVA é particionada em vários componentes, cada um atribuído ao efeito de uma determinada variável preditora, cada uma das somas dos quadrados nessa partição é uma variável aleatória que tem um valor esperado . Esse valor esperado dividido pelo número correspondente de graus de liberdade é o quadrado médio esperado para essa variável preditora.

Exemplo

O exemplo a seguir é extraído de Longitudinal Data Analysis, de Donald Hedeker e Robert D. Gibbons.

Cada um de s tratamentos (um dos quais pode ser um placebo) é administrado a uma amostra de (capital) N pacientes escolhidos aleatoriamente, em que certas medições são observadas em cada um dos (letras minúsculas) n especificados vezes, para (e por conseguinte os números dos pacientes que recebem tratamentos diferentes podem ser diferentes), e Presumimos que os conjuntos de pacientes que recebem tratamentos diferentes são separados, portanto, os pacientes estão aninhados dentro dos tratamentos e não cruzados com os tratamentos. Nós temos ${\ textstyle Y_ {hij}}$${\ textstyle h = 1, \ ldots, s, \ quad i = 1, \ ldots, N_ {h}}$${\ textstyle j = 1, \ ldots, n.}$

${\ displaystyle Y_ {hij} = \ mu + \ gamma _ {h} + \ tau _ {j} + (\ gamma \ tau) _ {hj} + \ pi _ {i (h)} + \ varejpsilon _ { hij}}$

Onde

• ${\ displaystyle \ mu}$ = grande média, (fixo)
• ${\ displaystyle \ gamma _ {h}}$ = efeito do tratamento , (fixo) ${\ displaystyle h}$
• ${\ displaystyle \ tau _ {j}}$ = efeito do tempo , (fixo) ${\ displaystyle j}$
• ${\ displaystyle (\ gamma \ tau) _ {hj}}$ = efeito de interação de tratamento e tempo , (fixo) ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle j}$
• ${\ displaystyle \ pi _ {i (h)}}$ = efeito de diferença individual para o paciente aninhado no tratamento , (aleatório) ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle h}$
• ${\ displaystyle \ varepsilon _ {hij}}$ = erro para o paciente em tratamento no momento . (aleatória) ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle j}$
• ${\ displaystyle \ sigma _ {\ pi} ^ {2}}$ = variância do efeito aleatório dos pacientes aninhados nos tratamentos,
• ${\ displaystyle \ sigma _ {\ varepsilon}}$ = variância do erro.

A soma corrigida total dos quadrados é

${\ displaystyle \ sum _ {hij} (Y_ {hij} - {\ overline {Y}}) ^ {2} \ quad {\ text {where}} {\ overline {Y}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {hij} Y_ {hij}.}$

A tabela ANOVA abaixo particiona a soma dos quadrados (onde ): ${\ textstyle N = \ sum _ {h} N_ {h}}$

fonte de variabilidade	graus de liberdade	soma dos quadrados	quadrado médio	quadrado médio esperado
tratamento	${\ displaystyle s-1}$	${\ displaystyle {\ text {SS}} _ {\ text {Tr}} = n \ sum _ {h = 1} ^ {s} N_ {h} ({\ overline {Y}} _ {h \ cdot \ cdot} - {\ overline {Y}} _ {\ cdot \ cdot \ cdot}) ^ {2}}$	${\ displaystyle {\ dfrac {{\ text {SS}} _ {\ text {Tr}}} {s-1}}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {\ varejpsilon} ^ {2} + n \ sigma _ {\ pi} ^ {2} + D _ {\ text {Tr}}}$
Tempo	${\ displaystyle n-1}$	${\ displaystyle {\ text {SS}} _ {\ text {T}} = N \ sum _ {j = 1} ^ {n} ({\ overline {Y}} _ {\ cdot \ cdot j} - { \ overline {Y}} _ {\ cdot \ cdot \ cdot}) ^ {2}}$	${\ displaystyle {\ dfrac {{\ text {SS}} _ {\ text {T}}} {n-1}}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2} + D _ {\ text {T}}}$
tratamento × tempo	${\ displaystyle (s-1) (n-1)}$	${\ displaystyle {\ text {SS}} _ {\ text {Tr T}} = \ sum _ {h = 1} ^ {s} \ sum _ {j = 1} ^ {n} N_ {h} ({ \ overline {Y}} _ {h \ cdot j} - {\ overline {Y}} _ {h \ cdot \ cdot} - {\ overline {Y}} _ {\ cdot \ cdot j} + {\ overline { Y}} _ {\ cdot \ cdot \ cdot}) ^ {2}}$	${\ displaystyle {\ dfrac {{\ text {SS}} _ {\ text {Tr T}}} {(n-1) (s-1)}}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2} + D _ {\ text {Tr T}}}$
pacientes dentro de tratamentos	${\ displaystyle Ns}$	${\ displaystyle {\ text {SS}} _ {{\ text {S}} ({\ text {Tr}})} = n \ sum _ {h = 1} ^ {s} \ sum _ {i = 1 } ^ {N_ {h}} ({\ overline {Y}} _ {hi \ cdot} - {\ overline {Y}} _ {h \ cdot \ cdot}) ^ {2}}$	${\ displaystyle {\ dfrac {{\ text {SS}} _ {{\ text {S}} ({\ text {Tr}})}} {Ns}}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2} + n \ sigma _ {\ pi} ^ {2}}$
erro	${\ displaystyle (Ns) (n-1)}$	${\ displaystyle {\ text {SS}} _ {\ text {E}} = \ sum _ {h = 1} ^ {s} \ sum _ {i = 1} ^ {N_ {h}} \ sum _ { j = 1} ^ {n} (Y_ {hij} - {\ overline {Y}} _ {h \ cdot j} - {\ overline {Y}} _ {hi \ cdot} + {\ overline {Y}} _ {h \ cdot \ cdot}) ^ {2}}$	${\ displaystyle {\ dfrac {{\ text {SS}} _ {\ text {E}}} {(Ns) (n-1)}}}$	${\ displaystyle \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2}}$

Use em testes F

Uma hipótese nula de interesse é que não há diferença entre os efeitos dos diferentes tratamentos - portanto, não há diferença entre as médias dos tratamentos. Isso pode ser expresso por dizer (com a notação usada na tabela acima). Sob esta hipótese nula, o quadrado médio esperado para os efeitos dos tratamentos é ${\ textstyle D _ {\ text {Tr}} = 0,}$${\ textstyle \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2} + n \ sigma _ {\ pi} ^ {2}.}$

O numerador da estatística F para testar essa hipótese é o quadrado médio devido às diferenças entre os tratamentos, ou seja, é O denominador, no entanto, não é. A razão é que a variável aleatória abaixo, embora na hipótese nula ela tenha um F- distribuição , não é observável - não é uma estatística - porque seu valor depende dos parâmetros não observáveis e ${\ textstyle \ left. {\ text {SS}} _ {\ text {Tr}} \ right / (s-1).}$ ${\ textstyle \ left. {\ text {SS}} _ {\ text {E}} \ right / {\ big (} (Ns) (n-1) {\ big)}.}$${\ textstyle \ sigma _ {\ pi} ^ {2}}$${\ textstyle \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2}.}$

${\ displaystyle {\ frac {\ left. {\ frac {{\ text {SS}} _ {\ text {Tr}}} {\ sigma _ {\ varejpsilon} ^ {2} + n \ sigma _ {\ pi } ^ {2}}} \ right / (s-1)} {\ left. {\ Frac {{\ text {SS}} _ {\ text {E}}} {\ sigma _ {\ varejpsilon} ^ { 2}}} \ right / {\ big (} (Ns) (n-1) {\ big)}}} \ neq {\ frac {{\ text {SS}} _ {\ text {Tr}} / ( s-1)} {{\ text {SS}} _ {\ text {E}} / {\ big (} (Ns) (n-1) {\ big)}}}}$

Em vez disso, usa-se como estatística de teste a seguinte variável aleatória que não é definida em termos de : ${\ textstyle {\ text {SS}} _ {\ text {E}}}$

${\ displaystyle F = {\ frac {\ left. {\ frac {{\ text {SS}} _ {\ text {Tr}}} {\ sigma _ {\ varejpsilon} ^ {2} + n \ sigma _ { \ pi} ^ {2}}} \ right / (s-1)} {\ left. {\ frac {{\ text {SS}} _ {{\ text {S}} ({\ text {Tr}} )}} {\ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2} + n \ sigma _ {\ pi} ^ {2}}} \ right / (Ns)}} = {\ frac {\ left. {\ text { SS}} _ {\ text {Tr}} \ right / (s-1)} {\ left. {\ Text {SS}} _ {\ text {S (Tr)}} \ right / (Ns)}} }$

Notas e referências