F- distribuição - F-distribution

Fisher – Snedecor
Função densidade de probabilidade
Distribuição F pdf.svg
Função de distribuição cumulativa
F dist cdf.svg
Parâmetros d 1 , d 2 > 0 graus da liberdade
Apoio, suporte se , caso contrário
PDF
CDF
Quer dizer
para d 2 > 2
Modo
para d 1 > 2
Variância
para d 2 > 4
Skewness
para d 2 > 6
Ex. curtose veja o texto
Entropia

MGF não existe, momentos crus definidos no texto e no
CF veja o texto

Em teoria de probabilidade e estatística , a distribuição F ou razão F , também conhecida como distribuição F de Snedecor ou distribuição de Fisher-Snedecor (após Ronald Fisher e George W. Snedecor ) é uma distribuição de probabilidade contínua que surge frequentemente como a distribuição nula de um teste estatístico , mais notavelmente na análise de variância (ANOVA) e outros F -Testes .

Definição

A distribuição F com d 1 e d 2 graus de liberdade é a distribuição de

onde e são variáveis ​​aleatórias independentes com distribuições qui-quadrado com respectivos graus de liberdade e .

Pode-se demonstrar que a função de densidade de probabilidade (pdf) para X é dada por

para x real > 0. Aqui está a função beta . Em muitas aplicações, os parâmetros de d 1 e d 2 são inteiros positivos , mas a distribuição é bem definido para valores reais positivos destes parâmetros.

A função de distribuição cumulativa é

onde I é a função beta incompleta regularizada .

A expectativa, a variação e outros detalhes sobre o F ( d 1 , d 2 ) são fornecidos na caixa lateral; para d 2  > 8, o excesso de curtose é

O k -ésimo momento de uma distribuição F ( d 1 , d 2 ) existe e é finito apenas quando 2 k < d 2 e é igual a

  

A distribuição F é uma parametrização particular da distribuição beta prime , também chamada de distribuição beta do segundo tipo.

A função característica é listada incorretamente em muitas referências padrão (por exemplo,). A expressão correta é

onde U ( a , b , z ) é a função hipergeométrica confluente do segundo tipo.

Caracterização

Uma variável aleatória da distribuição F com parâmetros e surge como a razão de duas variáveis qui-quadradas adequadamente dimensionadas :

Onde

Nos casos em que a distribuição F é usada, por exemplo, na análise de variância , a independência de e pode ser demonstrada pela aplicação do teorema de Cochran .

De forma equivalente, a variável aleatória da distribuição F também pode ser escrita

onde e , é a soma dos quadrados das variáveis ​​aleatórias da distribuição normal e é a soma dos quadrados das variáveis ​​aleatórias da distribuição normal .

Em um contexto frequentista , uma distribuição F em escala, portanto, fornece a probabilidade , com a própria distribuição F , sem qualquer escala, aplicando onde está sendo considerado igual a . Este é o contexto em que a distribuição F aparece mais geralmente em testes F : onde a hipótese nula é que duas variâncias normais independentes são iguais, e as somas observadas de alguns quadrados selecionados apropriadamente são então examinadas para ver se sua proporção é significativa incompatível com esta hipótese nula.

A quantidade tem a mesma distribuição nas estatísticas Bayesianas, se um Jeffreys anterior invariante ao reescalonamento não informativo for considerado para as probabilidades anteriores de e . Nesse contexto, uma distribuição F escalonada fornece a probabilidade posterior , onde as somas observadas e agora são consideradas conhecidas.

Propriedades e distribuições relacionadas

  • Se e forem independentes , então
  • Se ( distribuição gama ) forem independentes, então
  • Se ( distribuição beta ), então
  • Equivalentemente, se , então .
  • Se , em seguida, tem uma distribuição privilegiada beta : .
  • Se então tem a distribuição qui-quadrada
  • é equivalente à distribuição T-quadrada de Hotelling em escala .
  • Se então .
  • Se - distribuição t do aluno - então:
  • Se então ( distribuição z de Fisher )
  • A distribuição F não central simplifica para a distribuição F se .
  • A distribuição F duplamente não central simplifica para a distribuição F se
  • Se é o quantil p para e é o quantil para , então

Veja também

Referências

links externos