Teorema de Dvoretzky - Dvoretzky's theorem

Em matemática , o teorema de Dvoretzky é um importante teorema estrutural sobre espaços vetoriais normados provado por Aryeh Dvoretzky no início dos anos 1960, respondendo a uma pergunta de Alexander Grothendieck . Em essência, ele diz que todo espaço vetorial normado de dimensão suficientemente alta terá subespaços de baixa dimensão que são aproximadamente euclidianos . Equivalentemente, todo conjunto convexo simétrico com limite elevado de dimensão tem seções de dimensão baixa que são aproximadamente elipsoides .

Uma nova prova encontrada por Vitali Milman na década de 1970 foi um dos pontos de partida para o desenvolvimento da análise geométrica assintótica (também chamada de análise funcional assintótica ou teoria local dos espaços de Banach ).

Formulações originais

Para cada número natural k  ∈  N e cada ε  > 0 existe um número natural N ( k ,  ε ) ∈  N tal que se ( X , ‖ · ‖) é qualquer espaço normatizado de dimensão N ( k ,  ε ), existe um subespaço E  ⊂  X de dimensão k e uma forma quadrática positiva Q em E tal que a norma euclidiana correspondente

${\ displaystyle | \ cdot | = {\ sqrt {Q (\ cdot)}}}$

no E satisfaz:

${\ displaystyle | x | \ leq \ | x \ | \ leq (1+ \ varepsilon) | x | \ quad {\ text {para cada}} \ x \ em E.}$

Em termos da distância multiplicativa de Banach-Mazur d, a conclusão do teorema pode ser formulada como:

${\ displaystyle d (E, \ \ ell _ {k} ^ {2}) \ leq 1+ \ varepsilon}$

onde denota o espaço euclidiano k- dimensional padrão . ${\ displaystyle \ ell _ {k} ^ {2}}$

Visto que a bola unitária de cada espaço vetorial normatizado é um conjunto limitado, simétrico e convexo e a bola unitária de cada espaço euclidiano é um elipsóide, o teorema também pode ser formulado como uma declaração sobre seções elipsóides de conjuntos convexos.

Desenvolvimentos posteriores

Em 1971, Vitali Milman deu uma nova prova do teorema de Dvoretzky, fazendo uso da concentração de medida na esfera para mostrar que um subespaço k- dimensional aleatório satisfaz a desigualdade acima com probabilidade muito próxima de 1. A prova dá a forte dependência de k :

${\ displaystyle N (k, \ varepsilon) \ leq \ exp (C (\ varepsilon) k)}$

onde a constante C ( ε ) depende apenas de ε .

Podemos então afirmar: para todo ε  > 0 e para todo espaço normado ( X , ‖ · ‖) de dimensão N , existe um subespaço E  ⊂  X de dimensão k  ≥  C ( ε ) log  N e uma norma euclidiana | · | em E tal que

${\ displaystyle | x | \ leq \ | x \ | \ leq (1+ \ varepsilon) | x | \ quad {\ text {para cada}} \ x \ em E.}$

Mais precisamente, seja S ^{N  - 1} a esfera unitária com relação a alguma estrutura euclidiana Q em X , e seja σ a medida de probabilidade invariante em S ^{N  - 1} . Então:

• existe tal subespaço E com

${\ displaystyle k = \ dim E \ geq C (\ varepsilon) \, \ left ({\ frac {\ int _ {S ^ {N-1}} \ | \ xi \ | \, d \ sigma (\ xi )} {\ max _ {\ xi \ in S ^ {N-1}} \ | \ xi \ |}} \ right) ^ {2} \, N.}$

• Para qualquer X, pode-se escolher Q para que o termo entre colchetes seja no máximo

${\ displaystyle c_ {1} {\ sqrt {\ frac {\ log N} {N}}}.}$

Aqui, c ₁ é uma constante universal. Para um dado X e ε , o maior possível k é denotado k _* ( X ) e chamado a dimensão Dvoretzky de X .

A dependência de ε foi estudada por Yehoram Gordon , que mostrou que k _* ( X ) ≥  c ₂  ε ²  log  N . Outra prova desse resultado foi dada por Gideon Schechtman .

Noga Alon e Vitali Milman mostraram que o limite logarítmico na dimensão do subespaço no teorema de Dvoretzky pode ser significativamente melhorado, se alguém estiver disposto a aceitar um subespaço que está próximo de um espaço euclidiano ou de um espaço de Chebyshev . Especificamente, para alguma constante c , todo espaço n- dimensional tem um subespaço de dimensão k  ≥ exp ( c √ log  N ) que é próximo a ℓ^k
₂ou para ℓ^k
_∞.

Importantes resultados relacionados foram comprovados por Tadeusz Figiel , Joram Lindenstrauss e Milman.

Referências