Distância entre duas linhas paralelas - Distance between two parallel lines

A distância entre duas linhas paralelas no plano é a distância mínima entre quaisquer dois pontos l

Fórmula e prova

Como as linhas são paralelas, a distância perpendicular entre elas é uma constante, então não importa qual ponto é escolhido para medir a distância. Dadas as equações de duas linhas paralelas não verticais

${\ displaystyle y = mx + b_ {1} \,}$

${\ displaystyle y = mx + b_ {2} \ ,,}$

a distância entre as duas linhas é a distância entre os dois pontos de intersecção dessas linhas com a linha perpendicular

${\ displaystyle y = -x / m \ ,.}$

Esta distância pode ser encontrada resolvendo primeiro os sistemas lineares

${\ displaystyle {\ begin {cases} y = mx + b_ {1} \\ y = -x / m \ ,, \ end {cases}}}$

e

${\ displaystyle {\ begin {cases} y = mx + b_ {2} \\ y = -x / m \ ,, \ end {cases}}}$

para obter as coordenadas dos pontos de interseção. As soluções para os sistemas lineares são os pontos

${\ displaystyle \ left (x_ {1}, y_ {1} \ right) \ = \ left ({\ frac {-b_ {1} m} {m ^ {2} +1}}, {\ frac {b_ {1}} {m ^ {2} +1}} \ right) \ ,,}$

e

${\ displaystyle \ left (x_ {2}, y_ {2} \ right) \ = \ left ({\ frac {-b_ {2} m} {m ^ {2} +1}}, {\ frac {b_ {2}} {m ^ {2} +1}} \ direita) \,}$

A distância entre os pontos é

${\ displaystyle d = {\ sqrt {\ left ({\ frac {b_ {1} m-b_ {2} m} {m ^ {2} +1}} \ right) ^ {2} + \ left ({ \ frac {b_ {2} -b_ {1}} {m ^ {2} +1}} \ right) ^ {2}}} \ ,,}$

que se reduz a

${\ displaystyle d = {\ frac {| b_ {2} -b_ {1} |} {\ sqrt {m ^ {2} +1}}} \,}$

Quando as linhas são dadas por

${\ displaystyle ax + by + c_ {1} = 0 \,}$

${\ displaystyle ax + by + c_ {2} = 0, \,}$

a distância entre eles pode ser expressa como

${\ displaystyle d = {\ frac {| c_ {2} -c_ {1} |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.}$

Veja também

• Distância de um ponto a uma linha
• Skew lines # Distance

Referências

• Abstand In: Schülerduden - Mathematik II . Bibliographisches Institut & FA Brockhaus, 2004, ISBN  3-411-04275-3 , pp. 17-19 (alemão)
• Hardt Krämer, Rolf Höwelmann, Ingo Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Akgebra . Diesterweg, 1988, ISBN  3-425-05301-9 , p. 298 (alemão)

links externos

• Florian Modler: Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung - Wann welche Formel? , pp. 44-59 (alemão)
• AJ Hobson: “JUST THE MATHS” - UNIDADE NÚMERO 8.5 - VETORES 5 (Equações vetoriais de linhas retas) , pp. 8-9