Linhas oblíquas - Skew lines

Paralelepípedo retangular . A linha que passa pelo segmento AD e a linha que passa pelo segmento B ₁ B são linhas inclinadas porque não estão no mesmo plano.

Na geometria tridimensional , as linhas de inclinação são duas linhas que não se cruzam e não são paralelas . Um exemplo simples de um par de linhas inclinadas é o par de linhas passando por bordas opostas de um tetraedro regular . Duas linhas que estão no mesmo plano devem se cruzar ou ser paralelas, portanto, as linhas de inclinação podem existir apenas em três ou mais dimensões . Duas linhas são inclinadas se e somente se não forem coplanares .

Posição geral

Se quatro pontos forem escolhidos aleatoriamente de maneira uniforme em um cubo unitário , eles quase certamente definirão um par de linhas inclinadas. Depois de escolhidos os três primeiros pontos, o quarto ponto definirá uma linha não inclinada se, e somente se, for coplanar com os três primeiros pontos. No entanto, o plano através dos três primeiros pontos forma um subconjunto da medida zero do cubo, e a probabilidade de que o quarto ponto esteja neste plano é zero. Caso contrário, as linhas definidas pelos pontos ficarão tortas.

Da mesma forma, no espaço tridimensional, uma perturbação muito pequena de quaisquer duas linhas paralelas ou que se cruzam quase certamente as transformará em linhas tortas. Portanto, quaisquer quatro pontos na posição geral sempre formam linhas tortas.

Nesse sentido, as linhas inclinadas são o caso "usual" e as linhas paralelas ou que se cruzam são casos especiais.

Fórmulas

Teste de assimetria

Se cada linha em um par de linhas oblíquas for definida por dois pontos pelos quais passa, esses quatro pontos não devem ser coplanares, portanto, devem ser os vértices de um tetraedro de volume diferente de zero . Por outro lado, quaisquer dois pares de pontos que definem um tetraedro de volume diferente de zero também definem um par de linhas oblíquas. Portanto, um teste para saber se dois pares de pontos definem linhas de inclinação é aplicar a fórmula para o volume de um tetraedro em termos de seus quatro vértices. Denota um ponto como o 1 × 3 vetor $um$ cujos três elementos são três valores de coordenadas do ponto, e do mesmo modo que denota $b$ , $c$ , e $d$ para os outros pontos, pode-se verificar se a linha através de $um$ e $b$ é enviesado para a linha através $c$ e $d$ vendo se a fórmula do volume do tetraedro dá um resultado diferente de zero:

{\ displaystyle V = {\ frac {1} {6}} \ left | \ det \ left [{\ begin {matrix} \ mathbf {a} - \ mathbf {b} \\\ mathbf {b} - \ mathbf {c} \\\ mathbf {c} - \ mathbf {d} \ end {matriz}} \ direita] \ direita |.}

Pontos mais próximos

Expressando as duas linhas como vetores:

{\ displaystyle {\ text {Linha 1:}} \; \ mathbf {v_ {1}} = \ mathbf {p_ {1}} + t_ {1} \ mathbf {d_ {1}}}

{\ displaystyle {\ text {Linha 2:}} \; \ mathbf {v_ {2}} = \ mathbf {p_ {2}} + t_ {2} \ mathbf {d_ {2}}}

O produto vetorial de e é perpendicular às linhas. ${\ displaystyle \ mathbf {d_ {1}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d_ {2}}}$

{\ displaystyle \ mathbf {n} = \ mathbf {d_ {1}} \ times \ mathbf {d_ {2}}}

O plano formado pelas translações da Linha 2 ao longo contém o ponto e é perpendicular a . ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p_ {2}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n_ {2}} = \ mathbf {d_ {2}} \ times \ mathbf {n}}$

Portanto, o ponto de intersecção da Linha 1 com o plano acima mencionado, que também é o ponto da Linha 1 que está mais próximo da Linha 2, é dado por

{\ displaystyle \ mathbf {c_ {1}} = \ mathbf {p_ {1}} + {\ frac {(\ mathbf {p_ {2}} - \ mathbf {p_ {1}}) \ cdot \ mathbf {n_ {2}}} {\ mathbf {d_ {1}} \ cdot \ mathbf {n_ {2}}}} \ mathbf {d_ {1}}}

Da mesma forma, o ponto na Linha 2 mais próximo da Linha 1 é dado por (onde ) ${\ displaystyle \ mathbf {n_ {1}} = \ mathbf {d_ {1}} \ times \ mathbf {n}}$

{\ displaystyle \ mathbf {c_ {2}} = \ mathbf {p_ {2}} + {\ frac {(\ mathbf {p_ {1}} - \ mathbf {p_ {2}}) \ cdot \ mathbf {n_ {1}}} {\ mathbf {d_ {2}} \ cdot \ mathbf {n_ {1}}}} \ mathbf {d_ {2}}}

Agora, e forme o segmento de linha mais curto unindo a Linha 1 e a Linha 2. ${\ displaystyle \ mathbf {c_ {1}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c_ {2}}}$

Distância

A distância entre os pontos mais próximos em duas linhas de inclinação pode ser expressa usando vetores:

{\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {a} + \ lambda \ mathbf {b};}

{\ displaystyle \ mathbf {y} = \ mathbf {c} + \ mu \ mathbf {d}.}

Aqui, o vetor 1 × 3 $x$ representa um ponto arbitrário na linha através do ponto particular $a$ com $b$ representando a direção da linha e com o valor do número real determinando onde o ponto está na linha, e da mesma forma para o ponto arbitrário $y$ em a linha através do ponto particular $c$ na direção $d$ . ${\ displaystyle \ lambda}$

O produto vetorial de b e d é perpendicular às linhas, assim como o vetor unitário

{\ displaystyle \ mathbf {n} = {\ frac {\ mathbf {b} \ times \ mathbf {d}} {| \ mathbf {b} \ times \ mathbf {d} |}}}

A distância entre as linhas é então

{\ displaystyle d = | \ mathbf {n} \ cdot (\ mathbf {c} - \ mathbf {a}) |.}

(se | b × d | for zero, as linhas são paralelas e este método não pode ser usado).

Mais de duas linhas

Configurações

Uma configuração de linhas inclinadas é um conjunto de linhas em que todos os pares estão inclinados. Duas configurações são ditas isotópicas se for possível transformar continuamente uma configuração na outra, mantendo ao longo da transformação a invariante de que todos os pares de linhas permanecem enviesados. Quaisquer duas configurações de duas linhas são facilmente vistas como isotópicas, e configurações do mesmo número de linhas em dimensões superiores a três são sempre isotópicas, mas existem múltiplas configurações não isotópicas de três ou mais linhas em três dimensões ( Viro & Viro 1990 ). O número de configurações não isotópicas de n linhas em R ³ , começando em n = 1, é

1, 1, 2, 3, 7, 19, 74, ... (sequência A110887 no OEIS ).

Superfícies governadas

Uma fibração do espaço projetivo por linhas enviesadas em hiperbolóides aninhados .

Se alguém girar uma linha L ao redor de outra linha M enviesada, mas não perpendicular a ela, a superfície de revolução varrida por L é um hiperbolóide de uma folha . Por exemplo, os três hiperbolóides visíveis na figura pode ser formada desta maneira pela rotação de uma linha G em torno da linha vertical central, M . As cópias de L dentro desta superfície formam um régulo ; o hiperbolóide também contém uma segunda família de linhas que também são inclinadas para M na mesma distância que L dele, mas com o ângulo oposto que forma o régulo oposto. Os dois regulos exibem o hiperbolóide como uma superfície regida .

Uma transformação afim desta superfície pautada produz uma superfície que em geral tem uma seção transversal elíptica em vez da seção transversal circular produzida pela rotação de L em torno de L '; tais superfícies também são chamadas de hiperbolóides de uma folha e, novamente, são regidas por duas famílias de linhas mutuamente inclinadas. Um terceiro tipo de superfície regulada é o parabolóide hiperbólico . Como o hiperbolóide de uma folha, o parabolóide hiperbólico tem duas famílias de linhas oblíquas; em cada uma das duas famílias, as retas são paralelas a um plano comum, embora não entre si. Quaisquer três linhas de inclinação em R ³ estão em exatamente uma superfície governada de um desses tipos ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 ).

Teorema de Gallucci

Se três linhas de inclinação todas encontram três outras linhas de inclinação, qualquer transversal do primeiro conjunto de três encontra qualquer transversal do segundo conjunto.

Planos inclinados em dimensões superiores

No espaço de dimensão superior, um plano de dimensão k é referido como um k-plano . Assim, uma linha também pode ser chamada de 1 plano.

Generalizando o conceito de linhas de inclinação para o espaço d- dimensional, um i -plano e um j-plano podem ser assimétricos se $i + j < d$ . Tal como acontece com as linhas no espaço 3, os planos inclinados são aqueles que não são paralelos nem se cruzam.

No espaço d afim , dois apartamentos de qualquer dimensão podem ser paralelos. No entanto, no espaço projetivo , o paralelismo não existe; dois apartamentos devem se cruzar ou ser inclinados. Seja $I$ o conjunto de pontos em um i-plano e seja $J$ o conjunto de pontos em um j-plano . No espaço d projetivo , se $i + j \geq d$ então a interseção de $I$ e $J$ deve conter a ( i + j - d ) -plano. (Um 0-plano é um ponto.)

Em qualquer geometria, se $I$ e $J se$ cruzam em um k -plano, para $k \geq 0$ , então os pontos de $I \cup J$ determinam a ( i + j - k ) -plano.

Veja também

Notas

Referências

Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2ª ed.), Chelsea, pp. 13-17, ISBN 0-8284-1087-9 .
Viro, Julia Drobotukhina; Viro, Oleg (1990), "Configurations of skew lines" (PDF) , Leningrad Math. J. (em russo), 1 (4): 1027–1050 . Versão revisada em inglês: arXiv : math.GT/0611374 .

links externos

Weisstein, Eric W. "Skew Lines" . MathWorld .

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