Combinação convexa - Convex combination

Dados três pontos em um plano conforme mostrado na figura, o ponto é uma combinação convexa dos três pontos, enquanto não é .${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$

( no entanto, é uma combinação afim dos três pontos, já que seu casco afim é o plano inteiro.) ${\ displaystyle Q}$

Na geometria convexa , uma combinação convexa é uma combinação linear de pontos (que podem ser vetores , escalares ou, mais geralmente, pontos em um espaço afim ) em que todos os coeficientes são não negativos e somam 1.

Mais formalmente, dado um número finito de pontos em um espaço vetorial real , uma combinação convexa desses pontos é um ponto da forma ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}}$

${\ displaystyle \ alpha _ {1} x_ {1} + \ alpha _ {2} x_ {2} + \ cdots + \ alpha _ {n} x_ {n}}$

onde os números reais satisfazem e ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle \ alpha _ {i} \ geq 0}$${\ displaystyle \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ cdots + \ alpha _ {n} = 1.}$

Como um exemplo particular, cada combinação convexa de dois pontos fica no segmento de linha entre os pontos.

Um conjunto é convexo se contiver todas as combinações convexas de seus pontos. O casco convexo de um determinado conjunto de pontos é idêntico ao conjunto de todas as suas combinações convexas.

Existem subconjuntos de um espaço vetorial que não são fechados em combinações lineares, mas são fechados em combinações convexas. Por exemplo, o intervalo é convexo, mas gera a linha de número real em combinações lineares. Outro exemplo é o conjunto convexo de distribuições de probabilidade , já que as combinações lineares não preservam nem a não negatividade nem a afinidade (isto é, tendo um integral total). ${\ displaystyle [0,1]}$

Outros objetos

• Da mesma forma, uma combinação convexa de variáveis ​​aleatórias é uma soma ponderada (onde satisfaz as mesmas restrições acima) de suas distribuições de probabilidade de componente, muitas vezes chamada de distribuição de mistura finita , com função de densidade de probabilidade : ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y_ {i}}$${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$

  ${\ displaystyle f_ {X} (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} f_ {Y_ {i}} (x)}$

Construções relacionadas

• Uma combinação cônica é uma combinação linear com coeficientes não negativos. Quando um ponto deve ser usado como origem de referência para definir vetores de deslocamento , então é uma combinação convexa de pontos se e somente se o deslocamento zero for uma combinação cônica não trivial de seus respectivos vetores de deslocamento em relação a . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x}$
• As médias ponderadas são funcionalmente iguais às combinações convexas, mas usam uma notação diferente. Os coeficientes ( pesos ) em uma média ponderada não precisam somar 1; em vez disso, a combinação linear ponderada é explicitamente dividida pela contagem dos pesos.
• Combinações afins são como combinações convexas, mas os coeficientes não precisam ser não negativos. Conseqüentemente, as combinações afins são definidas em espaços vetoriais sobre qualquer campo .

Veja também

• Casco afim
• Teorema de Carathéodory (casco convexo)
• Simplex
• Sistema de coordenadas baricêntricas

Referências