Função de transferência de contraste - Contrast transfer function

Espectro de potência (transformada de Fourier) de uma micrografia eletrônica típica. O efeito da função de transferência de contraste pode ser visto na alternância de anéis claros e escuros (anéis de Thon), que mostram a relação entre contraste e frequência espacial.

A função de transferência de contraste ( CTF ) descreve matematicamente como as aberrações em um microscópio eletrônico de transmissão (TEM) modificam a imagem de uma amostra. Esta função de transferência de contraste (CTF) define a resolução da microscopia eletrônica de transmissão de alta resolução (HRTEM), também conhecida como TEM de contraste de fase.

Ao considerar a imagem gravada como um objeto verdadeiro degradado por CTF, a descrição do CTF permite que o objeto verdadeiro seja submetido a engenharia reversa . Isso é normalmente denominado correção de CTF e é vital para obter estruturas de alta resolução em microscopia eletrônica tridimensional, especialmente crio-microscopia eletrônica . Seu equivalente em óptica baseada em luz é a função de transferência óptica .

Contraste de fase em HRTEM

O contraste em HRTEM vem da interferência no plano da imagem entre as fases das ondas de elétrons espalhadas com a fase da onda de elétrons transmitida. Quando uma onda de elétrons passa por uma amostra no TEM, ocorrem interações complexas. Acima da amostra, a onda de elétrons pode ser aproximada como uma onda plana. Conforme a onda do elétron, ou função de onda , passa pela amostra, tanto a fase quanto a amplitude do feixe de elétrons são alteradas. O feixe de elétrons espalhado e transmitido resultante é então focalizado por uma lente objetiva e visualizado por um detector no plano da imagem.

Os detectores são capazes apenas de medir diretamente a amplitude, não a fase. No entanto, com os parâmetros corretos do microscópio, a interferência de fase pode ser medida indiretamente por meio da intensidade no plano da imagem. Os elétrons interagem muito fortemente com os sólidos cristalinos . Como resultado, as mudanças de fase devido a recursos muito pequenos, até a escala atômica, podem ser registradas via HRTEM.

Teoria de transferência de contraste

Diagrama de raios TEM com função de transferência de contraste de fase

A teoria de transferência de contraste fornece um método quantitativo para traduzir a função de onda de saída em uma imagem final. Parte da análise é baseada nas transformadas de Fourier da função de onda do feixe de elétrons. Quando uma função de onda do elétron passa por uma lente, a função de onda passa por uma transformada de Fourier. Este é um conceito da óptica de Fourier .

A teoria de transferência de contraste consiste em quatro operações principais:

1. Pegue a transformada de Fourier da onda de saída para obter a amplitude da onda no plano focal posterior da lente objetiva
2. Modifique a função de onda no espaço recíproco por um fator de fase, também conhecido como Função de Transferência de Contraste de Fase , para compensar as aberrações
3. Fourier inversa transforma a função de onda modificada para obter a função de onda no plano da imagem
4. Encontre o módulo quadrado da função de onda no plano da imagem para encontrar a intensidade da imagem (este é o sinal que é gravado em um detector e cria uma imagem)

Forma matemática

Se incorporarmos algumas suposições sobre nossa amostra, então uma expressão analítica pode ser encontrada para o contraste de fase e a função de transferência de contraste de fase. Conforme discutido anteriormente, quando a onda de elétrons passa por uma amostra, o feixe de elétrons interage com a amostra por meio de espalhamento e experimenta uma mudança de fase. Isso é representado pela função de onda do elétron saindo da parte inferior da amostra. Esta expressão assume que a dispersão causa uma mudança de fase (e nenhuma mudança de amplitude). Isso é chamado de Phase Object Approximation.

A função de onda de saída

Seguindo a notação de Wade, a expressão da função de onda de saída é representada por:

${\ displaystyle \ tau (r, z) = \ tau _ {o} \ exp [-i \ pi \ lambda \ int dz'U (r, z ')]}$

${\ displaystyle \ tau _ {o} = \ tau (r, 0)}$

${\ displaystyle U (r, z) = 2mV (r, z) / h ^ {2}}$

Onde a função de onda de saída τ é uma função tanto do plano da amostra, quanto perpendicular ao plano da amostra. representa o incidente da função de onda no topo da amostra. é o comprimento de onda do feixe de elétrons, que é definido pela tensão de aceleração. é o potencial efetivo da amostra, que depende dos potenciais atômicos dentro do cristal, representado por . ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ tau _ {o}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$

Dentro da função de onda de saída, a mudança de fase é representada por:

${\ displaystyle \ phi (r) = \ pi \ lambda \ int dz'U (r, z ')}$

Esta expressão pode ser ainda mais simplificada levando-se em consideração mais algumas suposições sobre a amostra. Se a amostra for considerada muito fina e um dispersor fraco, de modo que o deslocamento de fase seja << 1, a função de onda pode ser aproximada por uma expansão polinomial linear de Taylor . Esta aproximação é chamada de Weak Phase Object Approximation.

A função de onda de saída pode então ser expressa como:

${\ displaystyle \ tau (r, z) = \ tau _ {o} [1 + i \ phi (r)]}$

A função de transferência de contraste de fase

A passagem pela lente objetiva incorre em uma transformação de Fourier e mudança de fase. Como tal, a função de onda no plano focal posterior da lente objetiva pode ser representada por:

${\ displaystyle I (\ theta) = \ delta (\ theta) + \ Phi K (\ theta)}$

${\ displaystyle \ theta}$ = o ângulo de espalhamento entre a onda de elétron transmitida e a onda de elétron espalhada

${\ displaystyle \ delta}$ = uma função delta que representa a onda de elétrons não espalhada transmitida

${\ displaystyle \ Phi}$ = a transformada de Fourier da fase da função de onda

${\ displaystyle K (\ theta)}$ = a mudança de fase incorrida pelas aberrações do microscópio, também conhecidas como a Função de Transferência de Contraste:

${\ displaystyle K (\ theta) = \ sin [(2 \ pi / \ lambda) W (\ theta)]}$
${\ displaystyle W (\ theta) = - z \ theta ^ {2} / 2 + C_ {s} \ theta ^ {4} / 4}$

${\ displaystyle \ lambda}$ = o comprimento de onda relativístico da onda de elétrons, = A aberração esférica da lente objetiva ${\ displaystyle C_ {s}}$

A função de transferência de contraste também pode ser dada em termos de frequências espaciais ou espaço recíproco. Com o relacionamento , a função de transferência de contraste de fase torna-se: ${\ textstyle \ theta = \ lambda k}$

${\ displaystyle K (k) = \ sin [(2 \ pi) W (k)]}$
${\ displaystyle W (k) = - z \ lambda k ^ {2} / 2 + C_ {s} \ lambda ^ {3} k ^ {4} / 4}$

${\ displaystyle z}$ = a desfocagem da lente objetiva (usando a convenção de que a falta de foco é positiva e a superfocagem é negativa), = o comprimento de onda relativístico da onda de elétrons, = A aberração esférica da lente objetiva, = a frequência espacial (unidades de m ^-1 ) ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle C_ {s}}$${\ displaystyle k}$

Aberração esférica

A aberração esférica é um efeito de desfoque que surge quando uma lente não é capaz de convergir os raios que chegam em ângulos mais altos de incidência para o ponto de foco, mas sim foca-os em um ponto mais próximo da lente. Isso terá o efeito de espalhar um ponto de imagem (que é idealmente representado como um único ponto no plano da imagem gaussiana ) sobre um disco de tamanho finito no plano da imagem. Dar a medida da aberração em um plano normal ao eixo óptico é chamado de aberração transversal. O tamanho (raio) do disco de aberração neste plano pode ser mostrado como sendo proporcional ao cubo do ângulo incidente (θ) sob a aproximação de pequeno ângulo, e que a forma explícita neste caso é

${\ displaystyle r_ {s} = C_ {s} \ cdot \ theta ^ {3} \ cdot M}$

onde está a aberração esférica e é a ampliação, ambas efetivamente sendo constantes das configurações da lente. Pode-se então observar que a diferença no ângulo refratado entre um raio ideal e aquele que sofre de aberração esférica é ${\ displaystyle C_ {s}}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle \ alpha _ {s} = \ arctan \ left ({\ frac {b} {R}} \ right) - \ arctan \ left ({\ frac {b} {R + r_ {s}}} \ direito)}$

onde é a distância da lente ao plano da imagem gaussiana e é a distância radial do eixo óptico ao ponto da lente pelo qual o raio passou. Simplificar ainda mais (sem aplicar quaisquer aproximações) mostra que ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle \ alpha _ {s} = \ arctan \ left ({\ frac {br_ {s}} {R ^ {2} + Rr_ {s} + b ^ {2}}} \ right)}$

Duas aproximações podem agora ser aplicadas para prosseguir de uma maneira direta. Eles partem do pressuposto de que ambos e são muito menores que , o que equivale a afirmar que estamos considerando ângulos de incidência relativamente pequenos e, conseqüentemente, também aberrações esféricas muito pequenas. Sob tal suposição, os dois termos iniciais no denominador são insignificantes e podem ser considerados como não contribuindo. Por meio dessas suposições, também afirmamos implicitamente que a própria fração pode ser considerada pequena, e isso resulta na eliminação da função por meio da aproximação de pequeno ângulo; ${\ displaystyle r_ {s}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ arctan ()}$

${\ displaystyle \ alpha _ {s} \ approx \ arctan \ left ({\ frac {br_ {s}} {b ^ {2}}} \ right) \ approx {\ frac {br_ {s}} {b ^ {2}}} = {\ frac {r_ {s}} {b}} = {\ frac {C_ {s} \ cdot \ theta ^ {3} \ cdot M} {b}}}$

Se a imagem for considerada aproximadamente em foco e o ângulo de incidência for novamente considerado pequeno, então ${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle {\ frac {R} {f}} \ approx \ tan \ left (\ theta \ right) \ approx \ theta ~~ {\ text {e}} ~~ M \ approx {\ frac {b} { f}}}$

o que significa que uma expressão aproximada para a diferença no ângulo refratado entre um raio ideal e aquele que sofre de aberração esférica, é dada por

${\ displaystyle \ alpha _ {s} \ approx {\ frac {C_ {s} \ cdot R ^ {3}} {f ^ {4}}}}$

Desfocar

Ao contrário da aberração esférica, procederemos estimando o desvio de um raio desfocado do ideal, declarando a aberração longitudinal; uma medida de quanto um raio se desvia do ponto focal ao longo do eixo óptico. Denotando esta distância , é possível mostrar que a diferença no ângulo refratado entre os raios originados de um objeto focado e desfocado, pode estar relacionada ao ângulo refratado como ${\ displaystyle \ Delta b}$${\ displaystyle \ alpha _ {f}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {R ^ {2} + b ^ {2}}} \ cdot \ sin (\ alpha _ {f}) = \ Delta b \ cdot \ sin (\ theta '- \ alpha _ {f })}$

onde e são definidos da mesma maneira que foram para a aberração esférica. Supondo que (ou de forma equivalente ), podemos mostrar que ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ alpha _ {f} << \ theta '}$${\ displaystyle | b \ cdot \ sin (\ alpha _ {f}) | << | R |}$

${\ displaystyle \ sin (\ alpha _ {f}) \ approx {\ frac {\ Delta b \ sin (\ theta ')} {\ sqrt {R ^ {2} + b ^ {2}}}} = { \ frac {\ Delta b \ cdot R} {R ^ {2} + b ^ {2}}}}$

Uma vez que precisamos ser pequenos, e visto que ser pequeno implica , recebemos uma aproximação de como ${\ displaystyle \ alpha _ {f}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle R << b}$${\ displaystyle \ alpha _ {f}}$

${\ displaystyle \ alpha _ {f} \ approx {\ frac {\ Delta b \ cdot R} {b ^ {2}}}}$

A partir da fórmula de lente fina , pode ser mostrado que , produzindo uma estimativa final da diferença no ângulo de refração entre os raios em foco e fora de foco, como ${\ displaystyle \ Delta b / b ^ {2} \ approx \ Delta f / f ^ {2}}$

${\ displaystyle \ alpha _ {f} \ approx {\ frac {\ Delta f \ cdot R} {f ^ {2}}}}$

Exemplos

A função de transferência de contraste determina quanto sinal de fase é transmitido para a função de onda do espaço real no plano da imagem. Como o módulo ao quadrado da função de onda do espaço real fornece o sinal de imagem, a função de transferência de contraste limita a quantidade de informação que pode ser traduzida em uma imagem. A forma da função de transferência de contraste determina a qualidade da formação da imagem do espaço real no TEM.

Função CTF preparada via applet da web criado por Jiang e Chiu, disponível em http://jiang.bio.purdue.edu/software/ctf/ctfapplet.html

Este é um exemplo de função de transferência de contraste. Há uma série de coisas a serem observadas:

• A função existe no domínio da frequência espacial, ou espaço k
• Sempre que a função é igual a zero, isso significa que não há transmitância, ou nenhum sinal de fase é incorporado na imagem do espaço real
• A primeira vez que a função cruza o eixo x é chamada de resolução de ponto
• Para maximizar o sinal de fase, geralmente é melhor usar condições de imagem que aumentam a resolução do ponto para frequências espaciais mais altas
• Quando a função é negativa, isso representa contraste de fase positivo, levando a um fundo claro, com características atômicas escuras
• Cada vez que o CTF cruza o eixo x, há uma inversão no contraste
• Consequentemente, após a resolução do ponto do microscópio, a informação de fase não é diretamente interpretável e deve ser modelada por meio de simulação de computador

Scherzer desfocagem

O valor de desfocagem ( ) pode ser usado para neutralizar a aberração esférica para permitir maior contraste de fase. Esta análise foi desenvolvida por Scherzer e é chamada de desfocagem Scherzer. ${\ textstyle z}$

${\ displaystyle z_ {s} = (C_ {s} \ lambda) ^ {1/2}}$

As variáveis ​​são as mesmas da seção de tratamento matemático, com configuração do desfoque de Scherzer específico, como a aberração esférica, e λ como o comprimento de onda relativístico para a onda de elétrons. ${\ displaystyle z_ {s}}$${\ displaystyle C_ {s}}$

A figura na seção a seguir mostra a função CTF para um microscópio CM300 no Scherzer Defocus. Em comparação com a função CTF mostrada acima, há uma janela maior, também conhecida como banda passante, de frequências espaciais com alta transmitância. Isso permite que mais sinal de fase passe para o plano da imagem.

Função envelope

Função CTF de um microscópio CM300 amortecido por funções de envelope temporal e espacial.

A função de envelope representa o efeito de aberrações adicionais que amortecem a função de transferência de contraste e, por sua vez, a fase. Os termos de envelope que compreendem a função de envelope tendem a suprimir altas frequências espaciais. A forma exata das funções do envelope pode variar de fonte para fonte. Geralmente, eles são aplicados multiplicando a Função de Transferência de Contraste por um termo de envelope Et que representa aberrações temporais, e um termo de envelope Es que representa aberrações espaciais. Isso produz uma função de transferência de contraste modificada ou eficaz:

${\ displaystyle K_ {eff} (k) = E_ {t} E_ {s} (\ sin [(2 \ pi / \ lambda) W (k)]}$

Exemplos de aberrações temporais incluem aberrações cromáticas, propagação de energia, propagação focal, instabilidades na fonte de alta tensão e instabilidades na corrente da lente objetiva. Um exemplo de aberração espacial inclui a convergência do feixe incidente finito.

Conforme mostrado na figura, o termo de envelope mais restritivo dominará no amortecimento da função de transferência de contraste. Neste exemplo específico, o termo do envelope temporal é o mais restritivo. Como os termos do envelope se amortecem mais fortemente em frequências espaciais mais altas, chega um ponto em que nenhum sinal de fase pode passar. Isso é chamado de Limite de Informação do microscópio e é uma medida da resolução.

A modelagem da função de envelope pode fornecer informações sobre o design do instrumento TEM e os parâmetros de imagem. Modelando as diferentes aberrações por meio de termos de envelope, é possível ver quais aberrações estão mais limitando o sinal de fase.

Vários softwares foram desenvolvidos para modelar a função de transferência de contraste e a função de envelope para microscópios específicos e parâmetros de imagem específicos.

Teoria da imagem linear vs. teoria da imagem não linear

A descrição anterior da função de transferência de contraste depende da teoria da imagem linear . A teoria da imagem linear assume que o feixe transmitido é dominante, há apenas uma mudança de fase fraca pela amostra. Em muitos casos, esta pré-condição não é cumprida. Para dar conta desses efeitos, é necessária a teoria da imagem não linear . Com amostras de forte dispersão, os elétrons difratados não só interferem no feixe transmitido, mas também interferem uns com os outros. Isso produzirá intensidades de difração de segunda ordem. A teoria de imagem não linear é necessária para modelar esses efeitos de interferência adicionais.

Ao contrário de uma suposição generalizada, a teoria de imagem linear / não linear não tem nada a ver com difração cinemática ou difração dinâmica , respectivamente.

A teoria da imagem linear ainda é usada, no entanto, porque tem algumas vantagens computacionais. Na teoria da imagem linear, os coeficientes de Fourier para a função de onda do plano de imagem são separáveis. Isso reduz bastante a complexidade computacional, permitindo simulações de computador mais rápidas de imagens HRTEM.

Veja também

• Disco de ar , fenômenos diferentes, mas semelhantes em luz
• Função de transferência óptica
• Função de propagação de pontos
• Microscopia eletrônica de transmissão

Referências

links externos

• Correção da função de transferência de contraste (CTF)
• Palestra no CTF de Henning Stahlberg
• Lista de leitura CTF
• Modelagem CTF Interativa