Topologia co-contável - Cocountable topology

A topologia co - contável ou topologia de complemento contável em qualquer conjunto X consiste no conjunto vazio e todos os subconjuntos co-contáveis de X , ou seja, todos os conjuntos cujo complemento em X é contável . Daqui resulta que os subconjuntos única fechadas são X e os subconjuntos de contáveis X .

Cada conjunto X com a topologia cocountable é Lindelöf , uma vez a cada nonempty conjunto aberto omite apenas countably muitos pontos de X . É também T ₁ , pois todos os singletons estão fechados.

Se X é um conjunto incontável, quaisquer dois conjuntos abertos se cruzam, portanto, o espaço não é Hausdorff . No entanto, na topologia co-contável, todas as sequências convergentes são eventualmente constantes, portanto, os limites são únicos. Uma vez que conjuntos compactos em X são subconjuntos finitos, todos os subconjuntos compactos são fechados, outra condição geralmente relacionada ao axioma de separação de Hausdorff.

A topologia co-contável em um conjunto contável é a topologia discreta . A topologia co-contável em um conjunto incontável é hiperconectada , portanto conectada , conectada localmente e pseudocompacta , mas nem compactamente contável nem metacompacta contável , portanto não compacta.

Veja também

• Topologia cofinite
• Lista de topologias

Referências

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpressão de Dover da edição de 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR  0507446 (Veja o exemplo 20) .