Mapa de pacote - Bundle map

Em matemática , um mapa de feixe (ou morfismo de feixe ) é um morfismo na categoria de feixes de fibras . Existem duas noções distintas, mas intimamente relacionadas, de mapa de feixe, dependendo se os feixes de fibra em questão têm um espaço de base comum . Existem também diversas variações sobre o tema básico, dependendo precisamente de qual categoria de feixes de fibras está sendo considerada. Nas primeiras três seções, consideraremos feixes de fibras gerais na categoria de espaços topológicos . Em seguida, na quarta seção, alguns outros exemplos serão dados.

Pacotes de mapas sobre uma base comum

Deixe e ser feixes de fibras ao longo de um espaço M . Então, um mapa de feixe de E a F sobre M é um mapa contínuo tal que . Ou seja, o diagrama ${\ displaystyle \ pi _ {E} \ dois pontos E \ a M}$${\ displaystyle \ pi _ {F} \ dois pontos F \ a M}$${\ displaystyle \ varphi \ dois pontos E \ a F}$${\ displaystyle \ pi _ {F} \ circ \ varphi = \ pi _ {E}}$

deve comutar . Equivalentemente, para qualquer ponto x em M , mapeia a fibra de E sobre x à fibra de F sobre x . ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle E_ {x} = \ pi _ {E} ^ {- 1} (\ {x \})}$${\ displaystyle F_ {x} = \ pi _ {F} ^ {- 1} (\ {x \})}$

Morfismos gerais de feixes de fibras

Sejam π _E : E → M e π _F : F → N feixes de fibras sobre os espaços M e N, respectivamente. Então, um mapa contínuo é chamado de mapa de feixe de E a F se houver um mapa contínuo f : M → N tal que o diagrama ${\ displaystyle \ varphi: E \ a F}$

comuta, isto é ,. Em outras palavras, é de preservação da fibra , e f é o mapa induzida no espaço de fibras de E : desde π _E é sobrejetivo, f é determinada exclusivamente pela . Para um dado f , tal mapa de feixe é considerado um mapa de feixe cobrindo f . ${\ displaystyle \ pi _ {F} \ circ \ varphi = f \ circ \ pi _ {E}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$

Relação entre as duas noções

Segue imediatamente a partir das definições que um mapa pacote sobre M (no primeiro sentido) é a mesma coisa que um mapa pacote cobrindo o mapa identidade do M .

Por outro lado, os mapas de bundle gerais podem ser reduzidos a mapas de bundle sobre um espaço de base fixo usando a noção de um bundle de pullback . Se π _F : F → N é um feixe de fibras sobre N e f : M → N é um mapa contínuo, em seguida, a retirada de F por F é um feixe de fibras F ^* F ao longo H cuja fibra sobre x é dado por ( f ^* F ) _x = F _{f ( x )} . Segue-se então que um mapa feixe de E a F cobrindo f é a mesma coisa que um mapa feixe de E a F ^* F sobre M .

Variantes e generalizações

Existem dois tipos de variação da noção geral de um mapa de pacotes.

Em primeiro lugar, pode-se considerar os feixes de fibras em uma categoria diferente de espaços. Isso leva, por exemplo, à noção de um mapa de feixe liso entre feixes de fibras lisas sobre um coletor liso .

Em segundo lugar, pode-se considerar feixes de fibras com estrutura extra em suas fibras e restringir a atenção aos mapas de feixes que preservam essa estrutura. Isso leva, por exemplo, à noção de um homomorfismo de feixe (vetorial) entre feixes de vetores , em que as fibras são espaços vetoriais, e um mapa de feixe φ deve ser um mapa linear em cada fibra. Neste caso, tal mapa de feixe φ (cobrindo f ) também pode ser visto como uma seção do feixe vetorial Hom ( E , f ^* F ) sobre M , cuja fibra sobre x é o espaço vetorial Hom ( E _x , F _{f ( x )} ) (também denotado L ( E _x , F _{f ( x )} )) de mapas lineares de E _x a F _{f ( x )} .