Paradoxo de Bertrand (probabilidade) - Bertrand paradox (probability)
O paradoxo de Bertrand é um problema dentro da interpretação clássica da teoria da probabilidade . Joseph Bertrand o introduziu em seu trabalho Calcul des probabilités (1889), como um exemplo para mostrar que o princípio da indiferença pode não produzir resultados definidos e bem definidos para probabilidades se for aplicado acriticamente quando o domínio de possibilidades é infinito.
A formulação de Bertrand do problema
O paradoxo de Bertrand é geralmente apresentado da seguinte forma: Considere um triângulo equilátero inscrito em um círculo . Suponha que uma corda do círculo seja escolhida aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que o acorde seja mais longo do que um lado do triângulo?
Bertrand deu três argumentos (cada um usando o princípio da indiferença), todos aparentemente válidos, mas produzindo resultados diferentes:
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O método dos "pontos finais aleatórios": Escolha dois pontos aleatórios na circunferência do círculo e desenhe a corda que os une. Para calcular a probabilidade em questão, imagine o triângulo girado de forma que seu vértice coincida com uma das extremidades da corda. Observe que se o outro ponto final da corda estiver no arco entre as pontas do lado do triângulo oposto ao primeiro ponto, a corda é mais longa do que um lado do triângulo. O comprimento do arco é um terço da circunferência do círculo, portanto, a probabilidade de que uma corda aleatória seja maior do que um lado do triângulo inscrito é 1/3.
- O método do "ponto radial aleatório": Escolha um raio do círculo, escolha um ponto no raio e construa a corda através deste ponto e perpendicular ao raio. Para calcular a probabilidade em questão, imagine o triângulo girado de forma que um lado seja perpendicular ao raio. A corda é mais longa do que um lado do triângulo se o ponto escolhido estiver mais próximo do centro do círculo do que o ponto onde o lado do triângulo cruza o raio. O lado do triângulo divide o raio ao meio, portanto, a probabilidade de uma corda aleatória ser maior do que um lado do triângulo inscrito é1/2.
- O método do "ponto médio aleatório": Escolha um ponto em qualquer lugar dentro do círculo e construa uma corda com o ponto escolhido como seu ponto médio. A corda é mais longa do que um lado do triângulo inscrito se o ponto escolhido cair dentro de um círculo concêntrico de raio1/2o raio do círculo maior. A área do círculo menor é um quarto da área do círculo maior, portanto, a probabilidade de uma corda aleatória ser maior do que um lado do triângulo inscrito é1/4.
Esses três métodos de seleção diferem quanto ao peso que dão aos acordes que são diâmetros . Este problema pode ser evitado “regularizando” o problema de forma a excluir diâmetros, sem afetar as probabilidades resultantes. Mas, conforme apresentado acima, no método 1, cada acorde pode ser escolhido exatamente de uma maneira, independentemente de ser ou não um diâmetro; no método 2, cada diâmetro pode ser escolhido de duas maneiras, enquanto cada corda pode ser escolhida apenas de uma maneira; e no método 3, cada escolha de ponto médio corresponde a uma única corda, exceto o centro do círculo, que é o ponto médio de todos os diâmetros.
Gráficos de dispersão mostrando distribuições Bertrand simuladas, pontos
médios / acordes escolhidos aleatoriamente usando 1 de 3 métodos.
Outros métodos podem ser facilmente imaginados para selecionar pontos médios e acordes; muitos geram distribuições com uma proporção diferente de acordes que são mais longos do que um lado do triângulo inscrito.
Solução clássica
A solução clássica do problema (apresentada, por exemplo, no próprio trabalho de Bertrand) depende do método pelo qual um acorde é escolhido "ao acaso". O argumento é que se o método de seleção aleatória for especificado, o problema terá uma solução bem definida (determinada pelo princípio da indiferença). As três soluções apresentadas por Bertrand correspondem a diferentes métodos de seleção e, na falta de mais informações, não há razão para preferir uma à outra; conseqüentemente, o problema conforme declarado não tem solução única. Este e outros paradoxos da interpretação clássica da probabilidade justificavam formulações mais rigorosas, incluindo a probabilidade frequentista e a probabilidade bayesiana subjetivista .
A solução de Jaynes usando o princípio da "ignorância máxima"
Em seu artigo de 1973 "The Well-Posed Problem", Edwin Jaynes propôs uma solução para o paradoxo de Bertrand, com base no princípio da "máxima ignorância" - que não devemos usar qualquer informação que não seja fornecida na formulação do problema. Jaynes apontou que o problema de Bertrand não especifica a posição ou tamanho do círculo e argumentou que, portanto, qualquer solução definida e objetiva deve ser "indiferente" ao tamanho e à posição. Em outras palavras: a solução deve ser tanto escala e tradução invariante .
Para ilustrar: suponha que os acordes sejam colocados aleatoriamente em um círculo com um diâmetro de 2, digamos, jogando canudos nele de longe e convertendo-os em acordes por extensão / restrição. Agora, outro círculo com um diâmetro menor (por exemplo, 1,1) é colocado no círculo maior. Então, a distribuição dos acordes naquele círculo menor precisa ser a mesma que a distribuição restrita dos acordes no círculo maior (novamente usando extensão / restrição dos canudos geradores). Portanto, se o círculo menor for movido dentro do círculo maior, a distribuição restrita não deve mudar. Pode ser visto muito facilmente que haveria uma mudança para o método 3: a distribuição de acordes no pequeno círculo vermelho parece qualitativamente diferente da distribuição no grande círculo:
O mesmo ocorre para o método 1, embora seja mais difícil de ver em uma representação gráfica. Método 2 é o único que é invariante de escala e invariante de translação; o método 3 é apenas invariante de escala, o método 1 não é nenhum dos dois.
No entanto, Jaynes não usou invariâncias apenas para aceitar ou rejeitar métodos dados: isso deixaria a possibilidade de que haja outro método ainda não descrito que atenderia aos seus critérios de bom senso. Jaynes usou as equações integrais que descrevem as invariâncias para determinar diretamente a distribuição de probabilidade. Neste problema, as equações integrais de fato têm uma solução única, e é precisamente o que foi chamado de "método 2" acima, o método do raio aleatório .
Em um artigo de 2015, Alon Drory argumentou que o princípio de Jaynes também pode render as outras duas soluções de Bertrand. Drory argumenta que a implementação matemática das propriedades de invariância acima não é única, mas depende do procedimento subjacente de seleção aleatória que se usa (como mencionado acima, Jaynes usou um método de arremesso de palha para escolher acordes aleatórios). Ele mostra que cada uma das três soluções de Bertrand pode ser derivada usando invariância rotacional, de escala e translacional, concluindo que o princípio de Jaynes está tão sujeito à interpretação quanto o próprio princípio da indiferença .
Por exemplo, podemos considerar lançar um dardo no círculo e desenhar a corda tendo o ponto escolhido como seu centro. Então, a distribuição única que é invariante de translação, rotação e escala é chamada de "método 3" acima.
Da mesma forma, o "método 1" é a distribuição invariante única para um cenário onde um botão giratório é usado para selecionar um ponto final do acorde e, em seguida, usado novamente para selecionar a orientação do acorde. Aqui, a invariância em questão consiste na invariância rotacional para cada um dos dois spins. É também a escala única e a distribuição invariante de rotação para um cenário onde uma haste é colocada verticalmente sobre um ponto na circunferência do círculo e pode cair para a posição horizontal (condicional a aterrissar parcialmente dentro do círculo).
Experimentos físicos
O "Método 2" é a única solução que preenche os invariantes de transformação que estão presentes em certos sistemas físicos - como na mecânica estatística e na física dos gases - no caso específico do experimento proposto por Jaynes de jogar canudos à distância em um pequeno círculo. No entanto, pode-se projetar outros experimentos práticos que dão respostas de acordo com os outros métodos. Por exemplo, para chegar à solução do "método 1", o método dos pontos finais aleatórios , pode-se afixar um spinner no centro do círculo e deixar que os resultados de dois spins independentes marquem os pontos finais do acorde. Para chegar à solução do "método 3", pode-se cobrir o círculo com melaço e marcar o primeiro ponto em que uma mosca pousa como o ponto médio da corda. Vários observadores planejaram experimentos a fim de obter as diferentes soluções e verificaram os resultados empiricamente.
Desenvolvimentos recentes
Em seu artigo de 2007, "O Paradoxo de Bertrand e o Princípio da Indiferença", Nicholas Shackel afirma que depois de mais de um século o paradoxo permanece sem solução e continua a refutar o princípio da indiferença .
Shackel enfatiza que duas abordagens diferentes foram geralmente adotadas até agora na tentativa de resolver o paradoxo de Bertrand: aquelas em que uma distinção entre problemas não equivalentes foi considerada e aquelas em que o problema foi considerado bem apresentado . Shackel cita Louis Marinoff como um representante típico da estratégia de distinção e Edwin Jaynes como um representante típico da estratégia bem posta .
No entanto, em um trabalho recente, "Resolvendo o difícil problema do paradoxo de Bertrand", Diederik Aerts e Massimiliano Sassoli de Bianchi consideram que uma estratégia mista é necessária para enfrentar o paradoxo de Bertrand. De acordo com esses autores, o problema precisa primeiro ser eliminado, especificando-se de forma muito clara a natureza da entidade que está sujeita à randomização, e apenas uma vez feito isso o problema pode ser considerado bem formulado, no sentido de Jaynes, de modo que o princípio da máxima ignorância pode ser usado para resolvê-lo. Para este fim, e uma vez que o problema não especifica como o acorde deve ser selecionado, o princípio deve ser aplicado não no nível das diferentes escolhas possíveis de um acorde, mas no nível muito mais profundo das diferentes formas possíveis de escolher um acorde. Isso requer o cálculo de uma meta média sobre todas as formas possíveis de seleção de um acorde, que os autores chamam de média universal . Para lidar com isso, eles usam um método de discretização inspirado no que é feito na definição da lei da probabilidade nos processos de Wiener . O resultado que obtêm está de acordo com o resultado numérico de Jaynes, embora seu problema bem colocado seja diferente do de Jaynes.
Notas
Leitura adicional
- Clark, Michael (2012), Paradoxes from A to Z (3ª ed.), Routledge , ISBN 978-0-415-53857-2
- Gyenis, Zalán; Rédei, Miklós (1 de junho de 2015), "Defusing Bertrand's Paradox" , British Journal for the Philosophy of Science , 66 (2): 349-373, doi : 10.1093 / bjps / axt036 , arquivado do original em 5 de agosto de 2014