Axioma da união - Axiom of union

Na teoria dos conjuntos axiomática , o axioma da união é um dos axiomas da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Este axioma foi introduzido por Ernst Zermelo .

O axioma afirma que para cada conjunto x existe um conjunto y cujos elementos são precisamente os elementos dos elementos de x .

Declaração formal

Na linguagem formal dos axiomas de Zermelo-Fraenkel, o axioma diz:

${\ displaystyle \ forall A \, \ existe B \, \ forall c \, (c \ in B \ iff \ existe D \, (c \ in D \ land D \ in A) \,)}$

ou em palavras:

Dado qualquer conjunto A , há um conjunto B de tal modo que, para qualquer elemento de c , c é um membro de B , se e apenas se existe um conjunto D de tal modo que c é um membro de D e D é um membro de uma .

ou, mais simplesmente:

Para qualquer conjunto , existe um conjunto que consiste apenas nos elementos dos elementos desse conjunto . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ bigcup A \}$${\ displaystyle A}$

Relação com o emparelhamento

O axioma da união permite desempacotar um conjunto de conjuntos e, assim, criar um conjunto mais plano. Junto com o axioma do emparelhamento , isso implica que, para quaisquer dois conjuntos, existe um conjunto (chamado de união ) que contém exatamente os elementos dos dois conjuntos.

Relação com Substituição

O axioma da substituição permite formar várias uniões, como a união de dois conjuntos.

No entanto, em toda a sua generalidade, o axioma da união é independente do resto dos axiomas ZFC: A substituição não prova a existência da união de um conjunto de conjuntos se o resultado contiver um número ilimitado de cardinalidades.

Junto com o esquema axioma de substituição , o axioma de união implica que se pode formar a união de uma família de conjuntos indexados por um conjunto.

Relação com Separação

No contexto das teorias de conjuntos que incluem o axioma da separação, o axioma da união é algumas vezes enunciado em uma forma mais fraca, que apenas produz um superconjunto da união de um conjunto. Por exemplo, Kunen afirma o axioma como

${\ displaystyle \ forall {\ mathcal {F}} \, \ exists A \, \ forall Y \, \ forall x [(x \ in Y \ land Y \ in {\ mathcal {F}}) \ Rightarrow x \ em um].}$

que é equivalente a

${\ displaystyle \ forall {\ mathcal {F}} \, \ exists A \ forall x [[\ existe Y (x \ em Y \ land Y \ in {\ mathcal {F}})] \ Rightarrow x \ in A ].}$

Em comparação com o axioma declarado no início desta seção, esta variação afirma apenas uma direção da implicação, em vez de ambas as direções.

Relação com a Intersecção

Não há axioma de interseção correspondente . Se for um conjunto não vazio contendo , é possível formar a interseção usando o esquema de axioma de especificação como ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ bigcap A}$

${\ displaystyle \ bigcap A = \ {c \ in E: \ forall D (D \ in A \ Rightarrow c \ in D) \}}$ ,

portanto, nenhum axioma separado de interseção é necessário. (Se A é o conjunto vazio , então tentando formar a interseção de A como

{ c : para todo D em A , c está em D }

não é permitido pelos axiomas. Além disso, se tal conjunto existisse, então ele conteria todos os conjuntos do "universo", mas a noção de um conjunto universal é antitética à teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel.)

Referências

Leitura adicional

• Paul Halmos , teoria dos conjuntos ingênua . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpresso por Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN   0-387-90092-6 (edição Springer-Verlag).
• Jech, Thomas , 2003. Teoria dos Conjuntos: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Springer. ISBN   3-540-44085-2 .