Teorema de aproximação de Artin - Artin approximation theorem

Em matemática , o teorema da aproximação de Artin é um resultado fundamental de Michael Artin ( 1969 ) na teoria da deformação, o que implica que séries de potências formais com coeficientes em um campo k são bem aproximadas pelas funções algébricas em k .

Mais precisamente, Artin provou dois desses teoremas: um, em 1968, sobre a aproximação de soluções analíticas complexas por soluções formais (no caso ); e uma versão algébrica deste teorema em 1969. ${\ displaystyle k = \ mathbb {C}}$

Declaração do teorema

Deixe denotar uma coleção de n indeterminados , o anel de séries de potências formais com indeterminados sobre um campo k , e um conjunto diferente de indeterminados. Deixei ${\ displaystyle \ mathbf {x} = x_ {1}, \ dots, x_ {n}}$ ${\ displaystyle k [[\ mathbf {x}]]}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} = y_ {1}, \ dots, y_ {n}}$

{\ displaystyle f (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = 0}

ser um sistema de equações polinomiais em , ec um número inteiro positivo . Em seguida, dada uma solução formal de série de potências , há uma solução algébrica que consiste em funções algébricas (mais precisamente, séries de potências algébricas) de modo que ${\ displaystyle k [\ mathbf {x}, \ mathbf {y}]}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {y}}} (\ mathbf {x}) \ in k [[\ mathbf {x}]]}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} (\ mathbf {x})}$

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {y}}} (\ mathbf {x}) \ equiv \ mathbf {y} (\ mathbf {x}) {\ bmod {(}} \ mathbf {x}) ^ { c}.}

Discussão

Dado qualquer inteiro positivo desejado c , este teorema mostra que pode-se encontrar uma solução algébrica aproximando uma solução formal de série de potências até o grau especificado por c . Isso leva a teoremas que deduzem a existência de certos espaços de módulos formais de deformações como esquemas . Veja também: Critério de Artin .

Declaração alternativa

A seguinte afirmação alternativa é dada no Teorema 1.12 de Michael Artin ( 1969 ).

Seja um campo ou um anel de avaliação discreto excelente, seja a seleção de uma -álgebra de tipo finito em um ideal primário, seja m um ideal próprio de , seja a conclusão m -adic de , e seja ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle F \ dois pontos (A {\ text {-algebras}}) \ to ({\ text {conjuntos}}),}

ser um functor que envia colimites filtrados para colimites filtrados (Artin chama esse functor localmente de apresentação finita). Então, para qualquer inteiro c e qualquer , existe um tal que ${\ displaystyle {\ overline {\ xi}} \ in F ({\ hat {A}})}$ ${\ displaystyle \ xi \ in F (A)}$