Mosaico aperiódico - Aperiodic tiling
Uma telha aperiodic é um não-periódica azulejos com a propriedade adicional de que ele não contém arbitrariamente grandes manchas periódicas. Um conjunto de tipos de ladrilhos (ou protótipos ) é aperiódico se as cópias desses ladrilhos puderem formar apenas ladrilhos não periódicos . As telhas Penrose são os exemplos mais conhecidos de telhas aperiódicas.
Ladrilhos aperiódicos servem como modelos matemáticos para quasicristais , sólidos físicos que foram descobertos em 1982 por Dan Shechtman, que posteriormente ganhou o Prêmio Nobel em 2011. No entanto, a estrutura local específica desses materiais ainda é mal compreendida.
Vários métodos para construir telhas aperiódicas são conhecidos.
Definição e ilustração
Considere um mosaico periódico por quadrados unitários (parece um papel milimetrado infinito ). Agora corte um quadrado em dois retângulos. O ladrilho obtido desta forma não é periódico: não há deslocamento diferente de zero que deixe este ladrilho fixo. Mas claramente este exemplo é muito menos interessante do que a telha Penrose. A fim de descartar esses exemplos enfadonhos, define-se uma telha aperiódica como aquela que não contém partes periódicas arbitrariamente grandes.
Uma telha é chamada aperiódica se seu casco contém apenas telhas não periódicas. O casco de uma telha contém todos traduz t + x de T , em conjunto com todas as pavimentações que podem ser aproximadas por traduz de T . Formalmente, é o fechamento do conjunto na topologia local. Na topologia local (resp. A métrica correspondente), duas telhas são próximas se coincidirem em uma bola de raio em torno da origem (possivelmente após deslocar uma das telhas por um valor menor que ).
Para dar um exemplo ainda mais simples do que o anterior, considere um tiling unidimensional T da linha que se parece com ... aaaaaabaaaaa ... onde a representa um intervalo de comprimento um, b representa um intervalo de comprimento dois. Assim, o ladrilho T consiste em infinitas cópias de a e uma cópia de b (com centro 0, digamos). Agora, todos os traduzidos de T são as coisas com um b em algum lugar e um s em outro lugar. A sequência de pavimentações, onde b é centrado no converge - na topologia locais - a telha periódica consistindo de um s somente. Portanto, T não é um ladrilho aperiódico, pois seu casco contém o ladrilho periódico ... aaaaaa ....
Para ladrilhos bem comportados (por exemplo, ladrilhos de substituição com muitos padrões locais finitos) vale: se um ladrilho é não periódico e repetitivo (ou seja, cada mancha ocorre de maneira uniformemente densa em todo o ladrilho), então é aperiódico.
História
A primeira ocorrência específica de tilings aperiódicos surgiu em 1961, quando o lógico Hao Wang tentou determinar se o problema do Domino é decidível - isto é, se existe um algoritmo para decidir se um determinado conjunto finito de protótipos admite um tiling do plano. Wang encontrou algoritmos para enumerar os tilesets que não podem lado a lado o plano e os tilesets que o tiles periodicamente; com isso, ele mostrou que tal algoritmo de decisão existe se todo conjunto finito de protótipos que admite um tiling do plano também admite um tiling periódico. Em 1964, Robert Berger encontrou um conjunto aperiódico de protótipos a partir do qual demonstrou que o problema de tiling é de fato não decidível. Este primeiro conjunto, usado por Berger em sua prova de indecidibilidade, exigiu 20.426 ladrilhos de Wang. Berger mais tarde reduziu seu conjunto para 104, e Hans Läuchli posteriormente encontrou um conjunto aperiódico que exigia apenas 40 peças Wang. Um conjunto ainda menor de seis ladrilhos aperiódicos (com base nos ladrilhos Wang) foi descoberto por Raphael M. Robinson em 1971. Roger Penrose descobriu mais três conjuntos em 1973 e 1974, reduzindo o número de ladrilhos necessários para dois, e Robert Ammann descobriu vários novos se passa em 1977.
As telhas aperiódicas de Penrose podem ser geradas não apenas por um conjunto aperiódico de protótipos, mas também por uma substituição e por um método de corte e projeção . Após a descoberta dos quasicristais, as telhas aperiódicas passaram a ser intensamente estudadas por físicos e matemáticos. O método recortar e projetar de NG de Bruijn para telhas de Penrose acabou se revelando um exemplo da teoria dos conjuntos de Meyer . Hoje existe uma grande quantidade de literatura sobre as telhas aperiódicas.
Construções
Existem algumas construções de telhas aperiódicas conhecidas. Algumas construções são baseadas em famílias infinitas de conjuntos aperiódicos de ladrilhos. Essas construções encontradas são, em sua maioria, construídas de algumas maneiras, principalmente ao forçar algum tipo de estrutura hierárquica não periódica. Apesar disso, a indecidibilidade do Problema do Dominó garante que deve haver um número infinito de princípios distintos de construção e que, de fato, existem conjuntos aperiódicos de ladrilhos para os quais não pode haver prova de sua aperiodicidade.
Tileiras hierárquicas aperiódicas
Até o momento, não há uma definição formal que descreva quando um tiling tem uma estrutura hierárquica; no entanto, é claro que as coisas de substituição as possuem, assim como as de Berger, Knuth , Läuchli e Robinson . Tal como acontece com o próprio termo "ladrilho aperiódico", o termo " ladrilho hierárquico aperiódico " é uma abreviatura conveniente, significando algo como "um conjunto de ladrilhos admitindo apenas ladrilhos não periódicos com uma estrutura hierárquica".
Cada um desses conjuntos de ladrilhos, em qualquer ladrilho que admitam, força uma estrutura hierárquica particular. (Em muitos exemplos posteriores, esta estrutura pode ser descrita como um sistema de tiling de substituição; isso é descrito abaixo). Nenhum ladrilho admitido por tal conjunto de ladrilhos pode ser periódico, simplesmente porque nenhuma tradução pode deixar toda a estrutura hierárquica invariante. Considere os azulejos de Robinson de 1971:
Qualquer ladrilho por esses ladrilhos pode exibir apenas uma hierarquia de retículos quadrados: cada quadrado laranja está no canto de um quadrado laranja maior, ad infinitum. Qualquer translação deve ser menor do que algum tamanho de quadrado e, portanto, não pode deixar nenhum tipo de mosaico invariante.
Robinson prova que esses ladrilhos devem formar essa estrutura indutivamente; com efeito, os ladrilhos devem formar blocos que se encaixem como versões maiores dos ladrilhos originais e assim por diante. Essa ideia - de encontrar conjuntos de ladrilhos que só admitem estruturas hierárquicas - tem sido usada na construção dos mais conhecidos conjuntos aperiódicos de ladrilhos até hoje.
Substituições
Os sistemas de ladrilhos de substituição fornecem uma fonte rica de ladrilhos aperiódicos. Diz-se que um conjunto de ladrilhos que força o surgimento de uma estrutura de substituição reforça a estrutura de substituição. Por exemplo, os ladrilhos da cadeira mostrados abaixo admitem uma substituição e uma parte de um ladrilho de substituição é mostrada logo abaixo. Essas ladrilhos de substituição são necessariamente não periódicos, precisamente da mesma maneira como descrito acima, mas o ladrilho da cadeira em si não é aperiódico - é fácil encontrar ladrilhos periódicos por ladrilhos da cadeira não marcados.
No entanto, os ladrilhos mostrados abaixo forçam a estrutura de substituição da cadeira a emergir e, portanto, são aperiódicas.
Os ladrilhos de Penrose, e logo depois os vários conjuntos diferentes de ladrilhos de Amã, foram o primeiro exemplo baseado em forçar explicitamente o surgimento de uma estrutura de ladrilhos de substituição. Joshua Socolar , Roger Penrose , Ludwig Danzer e Chaim Goodman-Strauss encontraram vários conjuntos subsequentes. Shahar Mozes deu a primeira construção geral, mostrando que todos os produtos de sistemas de substituição unidimensionais podem ser aplicados por regras correspondentes. Charles Radin encontrou regras que impõem o sistema de substituição de ladrilhos de Conway-catavento . Em 1998, Goodman-Strauss mostrou que as regras locais de correspondência podem forçar qualquer estrutura de ladrilhos de substituição, sujeito a algumas condições moderadas.
Método de corte e projeto
Ladrilhos não periódicos também podem ser obtidos pela projeção de estruturas de dimensões superiores em espaços com dimensionalidade inferior e, em algumas circunstâncias, pode haver ladrilhos que reforçam esta estrutura não periódica e, portanto, são aperiódicos. Os azulejos de Penrose são o primeiro e mais famoso exemplo disso, como se observou pela primeira vez no trabalho pioneiro de de Bruijn . Ainda não há uma caracterização completa (algébrica) de peças cortadas e projetadas que possa ser aplicada por regras de correspondência, embora sejam conhecidas várias condições necessárias ou suficientes.
Outras técnicas
Apenas alguns tipos diferentes de construções foram encontrados. Notavelmente, Jarkko Kari deu um conjunto aperiódico de blocos Wang com base em multiplicações por 2 ou 2/3 dos números reais codificados por linhas de blocos (a codificação está relacionada a sequências de Sturmian feitas como diferenças de elementos consecutivos de sequências de Beatty ), com o aperiodicidade principalmente baseada no fato de que 2 n / 3 m nunca é igual a 1 para quaisquer inteiros positivos n e m. Este método foi posteriormente adaptado por Goodman-Strauss para fornecer um conjunto de ladrilhos fortemente aperiódico no plano hiperbólico. Shahar Mozes encontrou muitas construções alternativas de conjuntos aperiódicos de ladrilhos, alguns em ambientes mais exóticos; por exemplo, em grupos de Lie semi-simples . Block e Weinberger usaram métodos homológicos para construir conjuntos aperiódicos de ladrilhos para todas as variedades não receptivas . Joshua Socolar também deu outra forma de impor a aperiodicidade, em termos de condição alternada . Isso geralmente leva a conjuntos de peças muito menores do que os derivados de substituições.
Física
As telhas aperiódicas eram consideradas artefatos matemáticos até 1984, quando o físico Dan Shechtman anunciou a descoberta de uma fase de uma liga de alumínio-manganês que produzia um difractograma nítido com uma simetria quíntupla inequívoca - então tinha que ser uma substância cristalina com simetria icosaédrica. Em 1975, Robert Ammann já havia estendido a construção de Penrose a um equivalente icosaédrico tridimensional. Nesses casos, o termo 'lado a lado' significa 'preencher o espaço'. Os dispositivos fotônicos são atualmente construídos como sequências aperiódicas de diferentes camadas, sendo, portanto, aperiódicos em uma direção e periódicos nas outras duas. Estruturas quasicristais de Cd-Te parecem consistir em camadas atômicas nas quais os átomos estão dispostos em um padrão aperiódico plano. Às vezes, um mínimo energético ou máximo de entropia ocorre para tais estruturas aperiódicas. Steinhardt mostrou que os decágonos sobrepostos de Gummelt permitem a aplicação de um princípio extremo e, assim, fornecem a ligação entre a matemática da telha aperiódica e a estrutura dos quasicristais. Observou-se que ondas de Faraday formam grandes manchas de padrões aperiódicos. A física desta descoberta reavivou o interesse em estruturas incomensuráveis e frequências, sugerindo ligar tilings aperiódicos com fenômenos de interferência .
Confusão quanto à terminologia
O termo aperiódico tem sido usado em uma ampla variedade de maneiras na literatura matemática sobre telhas (e também em outros campos matemáticos, como sistemas dinâmicos ou teoria dos gráficos, com significados totalmente diferentes). Com respeito a tilings, o termo aperiódico às vezes era usado como sinônimo de não periódico. Um mosaico não periódico é simplesmente aquele que não é fixado por nenhuma tradução não trivial. Às vezes, o termo descreve - implícita ou explicitamente - um mosaico gerado por um conjunto aperiódico de protótipos. Freqüentemente, o termo aperiódico era apenas usado vagamente para descrever as estruturas em consideração, referindo-se a sólidos aperiódicos físicos, ou seja, quasicristais, ou a algo não periódico com algum tipo de ordem global.
O uso da palavra "lado a lado" também é problemático, apesar de sua definição direta. Não há uma única telha de Penrose , por exemplo: os losangos de Penrose admitem uma infinidade de ladrilhos (que não podem ser distinguidos localmente). Uma solução comum é tentar usar os termos com cuidado na redação técnica, mas reconhecer o uso generalizado dos termos informais.