Funções Weierstrass - Weierstrass functions

Em matemática , as funções de Weierstrass são funções especiais de uma variável complexa auxiliares da função elíptica de Weierstrass . Eles são nomeados em homenagem a Karl Weierstrass . A relação entre o sigma, zeta e funções é análoga àquela entre as funções seno, cotangente e cossecante quadrada: a derivada logarítmica do seno é a cotangente, cuja derivada é negativa a cossecante quadrada. ${\ displaystyle \ wp}$

Função Weierstrass sigma

Gráfico da função sigma usando coloração de domínio .

A função sigma Weierstrass associada a uma rede bidimensional é definida para ser o produto ${\ displaystyle \ Lambda \ subset \ mathbb {C}}$

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ operatorname {\ sigma} {(z; \ Lambda)} & = z \ prod _ {w \ in \ Lambda ^ {*}} \ left (1 - {\ frac {z } {w}} \ right) e ^ {z / w + {\ frac {1} {2}} (z / w) ^ {2}} \\ & = z \ prod _ {\ begin {smallmatrix} m, n = - \ infty \\\ {m, n \} \ neq 0 \ end {smallmatrix}} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z} {m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2}}} \ right) e ^ {z / (m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2}) + {\ frac {1} {2}} (z / (m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2})) ^ {2}} \ end {alinhado}}}

onde denota ou são um par fundamental de períodos . ${\ displaystyle \ Lambda ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ Lambda - \ {0 \}}$ ${\ displaystyle \ {\ omega _ {1}, \ omega _ {2} \}}$

Por meio da manipulação cuidadosa do teorema de fatoração de Weierstrass no que se refere à função seno, outra definição de produto infinito potencialmente mais gerenciável é

{\ displaystyle \ operatorname {\ sigma} {(z; \ Lambda)} = {\ frac {\ omega _ {i}} {\ pi}} e ^ {\ eta _ {i} z ^ {2} / \ omega _ {i}} \ sin {\ left ({\ frac {\ pi z} {\ omega _ {i}}} \ right)} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {\ sin ^ {2} {\ left ({\ tfrac {\ pi z} {\ omega _ {i}}} \ right)}} {\ sin ^ {2} {\ left ({\ tfrac {n \ pi \ omega _ {j}} {\ omega _ {i}}} \ right)}}} \ right)}

para qualquer com e onde usamos a notação (consulte a função zeta abaixo). ${\ displaystyle \ {i, j \} \ in \ {1,2,3 \}}$ ${\ displaystyle i \ neq j}$ ${\ displaystyle \ eta _ {i} = \ zeta (\ omega _ {i} / 2; \ Lambda)}$

Função zeta de Weierstrass

Gráfico da função zeta usando coloração de domínio

A função zeta de Weierstrass é definida pela soma

{\ displaystyle \ operatorname {\ zeta} {(z; \ Lambda)} = {\ frac {\ sigma '(z; \ Lambda)} {\ sigma (z; \ Lambda)}} = {\ frac {1} {z}} + \ sum _ {w \ in \ Lambda ^ {*}} \ left ({\ frac {1} {zw}} + {\ frac {1} {w}} + {\ frac {z} {w ^ {2}}} \ right).}

A função zeta de Weierstrass é a derivada logarítmica da função sigma. A função zeta pode ser reescrita como:

{\ displaystyle \ operatorname {\ zeta} {(z; \ Lambda)} = {\ frac {1} {z}} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ mathcal {G}} _ {2k + 2} (\ Lambda) z ^ {2k + 1}}

onde é a série de Eisenstein de peso 2 k + 2. ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {2k + 2}}$

A derivada da função zeta é , onde é a função elíptica de Weierstrass ${\ displaystyle - \ wp (z)}$ ${\ displaystyle \ wp (z)}$

A função zeta de Weierstrass não deve ser confundida com a função zeta de Riemann na teoria dos números.

Função Weierstrass eta

A função Weierstrass eta é definida para ser

{\ displaystyle \ eta (w; \ Lambda) = \ zeta (z + w; \ Lambda) - \ zeta (z; \ Lambda), {\ mbox {para qualquer}} z \ in \ mathbb {C}}

e qualquer w na rede

{\ displaystyle \ Lambda}

Isso é bem definido, ou seja, depende apenas do vetor de rede w . A função eta Weierstrass não deve ser confundido com a função eta de Dedekind ou a função eta de Dirichlet . ${\ displaystyle \ zeta (z + w; \ Lambda) - \ zeta (z; \ Lambda)}$

Função ℘ de Weierstrass

Gráfico da função p usando coloração de domínio

A função p de Weierstrass está relacionada à função zeta por

{\ displaystyle \ operatorname {\ wp} {(z; \ Lambda)} = - \ operatorname {\ zeta '} {(z; \ Lambda)}, {\ mbox {para qualquer}} z \ in \ mathbb {C }}

A função ℘ de Weierstrass é uma função elíptica par de ordem N = 2 com um pólo duplo em cada ponto da rede e nenhum outro pólo.

Caso degenerado

Considere a situação em que um período é real, que podemos escalar para ser e o outro é levado ao limite de, de modo que as funções são apenas um periódico. Os invariantes correspondentes são discriminantes . Então temos e, portanto, a partir da definição de produto infinito acima, a seguinte igualdade: ${\ displaystyle \ omega _ {1} = 2 \ pi}$ ${\ displaystyle \ omega _ {2} \ rightarrow i \ infty}$ ${\ displaystyle \ {g_ {2}, g_ {3} \} = \ left \ {{\ tfrac {1} {12}}, {\ tfrac {1} {216}} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ ${\ displaystyle \ eta _ {1} = {\ tfrac {\ pi} {12}}}$