Estrutura de Weaire-Phelan - Weaire–Phelan structure
| Estrutura de Weaire-Phelan | |
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Grupo espacial notação Fibrifold Notação Coxeter |
Pm 3 n (223) 2 o [[4,3,4] + ] |
Em geometria , a estrutura Weaire-Phelan é uma estrutura tridimensional que representa uma espuma idealizada de bolhas de tamanhos iguais, com duas formas diferentes. Em 1993, Denis Weaire e Robert Phelan descobriram que essa estrutura era a melhor solução para o problema de Kelvin de espaço de ladrilhos por células de volume igual de área de superfície mínima do que a solução anterior mais conhecida, a estrutura de Kelvin.
História e o problema de Kelvin
Em duas dimensões, a subdivisão do plano em células de área igual com perímetro médio mínimo é dada pela telha hexagonal , mas embora o primeiro registro desta conjectura em favo de mel remonte ao antigo estudioso romano Marcus Terentius Varro , não foi provado até o trabalho de Thomas C. Hales em 1999. Em 1887, Lord Kelvin fez a pergunta correspondente para o espaço tridimensional: como pode o espaço ser dividido em células de igual volume com a menor área de superfície entre elas? Ou, em suma, qual era a espuma de bolha de sabão mais eficiente ? Este problema tem sido referido como o problema de Kelvin.
Kelvin propôs uma espuma chamada estrutura de Kelvin . Sua espuma é baseada no favo de mel cúbico bitruncado , um favo de mel uniforme convexo formado pelo octaedro truncado , um poliedro convexo que preenche o espaço com 6 faces quadradas e 8 faces hexagonais. No entanto, este favo de mel não atende às leis de Plateau , formuladas por Joseph Plateau no século 19, segundo as quais as superfícies de espuma mínima se encontram em ângulos em suas bordas, com essas bordas se encontrando em conjuntos de quatro com ângulos de . Os ângulos da estrutura poliédrica são diferentes; por exemplo, suas arestas se encontram em ângulos de faces quadradas ou hexagonais. Portanto, a estrutura proposta de Kelvin usa bordas curvilíneas e superfícies mínimas levemente empenadas em suas faces, obedecendo às leis de Platô e reduzindo a área da estrutura em 0,2% em comparação com a estrutura poliédrica correspondente.
Embora Kelvin não tenha declarado isso explicitamente como uma conjectura, a ideia de que a espuma do favo de mel cúbico bitruncado é a espuma mais eficiente e resolve o problema de Kelvin, ficou conhecida como a conjectura de Kelvin . Acreditava-se amplamente e nenhum contra-exemplo era conhecido por mais de 100 anos. Finalmente, em 1993, o físico Denis Weaire do Trinity College Dublin e seu aluno Robert Phelan descobriram a estrutura de Weaire-Phelan por meio de simulações de espuma em computador e mostraram que era mais eficiente, refutando a conjectura de Kelvin.
Desde a descoberta da estrutura de Weaire-Phelan, outros contra-exemplos para a conjectura de Kelvin foram encontrados, mas a estrutura de Weaire-Phelan continua a ter a menor área de superfície conhecida por célula desses contra-exemplos. Embora experimentos numéricos sugiram que a estrutura de Weaire-Phelan é ótima, isso ainda não foi comprovado. Em geral, tem sido muito difícil provar a otimização de estruturas envolvendo superfícies mínimas . A minimalidade da esfera como uma superfície envolvendo um único volume não foi provada até o século 19, e o próximo problema mais simples, a conjectura da bolha dupla sobre encerrar dois volumes, permaneceu aberta por mais de 100 anos até ser provada em 2002.
Descrição
A estrutura de Weaire-Phelan difere da de Kelvin por usar dois tipos de células, embora tenham o mesmo volume. Como as células na estrutura de Kelvin, essas células são combinatorialmente equivalentes a poliedros convexos . Um é um piritoedro , um dodecaedro irregular com faces pentagonais, possuindo simetria tetraédrica ( T h ). O segundo é uma forma de trapézio hexagonal truncado , uma espécie de tetrakaidecaedro com duas faces hexagonais e doze pentagonais, neste caso possuindo apenas dois planos espelhados e uma simetria de rotorreflecção . Como os hexágonos na estrutura Kelvin, os pentágonos em ambos os tipos de células são ligeiramente curvos. A área da superfície da estrutura Weaire-Phelan é 0,3% menor que a da estrutura Kelvin.
As células do tetrakaidecaedro, ligadas em cadeias de células face a face ao longo de suas faces hexagonais, formam cadeias em três direções perpendiculares. Uma estrutura combinatorialmente equivalente à estrutura de Weaire-Phelan pode ser feita como um mosaico de espaço por cubos unitários, alinhados face a face em prismas quadrados infinitos da mesma maneira para formar uma estrutura de prismas interligados chamados tetrastix . Esses prismas circundam os vazios cúbicos que formam um quarto das células do ladrilho cúbico; os três quartos restantes das células preenchem os prismas, deslocados por meia unidade da grade inteira alinhada com as paredes do prisma. Da mesma forma, na própria estrutura Weaire-Phelan, que tem as mesmas simetrias da estrutura tetrástica, 1/4 das células são dodecaedros e 3/4 são tetrakaidecaedros.
O favo de mel poliédrico associado à estrutura de Weaire-Phelan (obtido ao achatar as faces e endireitar as bordas) também é conhecido como estrutura de Weaire-Phelan. Ele era conhecido bem antes da estrutura Weaire-Phelan ser descoberta, mas a aplicação ao problema de Kelvin foi negligenciada.
Formulários
Em sistemas físicos
Experimentos mostraram que, com condições de contorno favoráveis , bolhas de volume igual espontaneamente se auto-montam na estrutura de Weaire-Phelan.
O favo de mel poliédrico associado é encontrado em duas geometrias relacionadas da estrutura cristalina em química . Onde os componentes do cristal estão no centro do poliedro, ele forma uma das fases de Frank-Kasper , a fase A15 .
Onde os componentes do cristal ficam nos cantos do poliedro, é conhecido como " estrutura de clatrato Tipo I ". Hidratos gasosos formados por metano, propano e dióxido de carbono em baixas temperaturas têm uma estrutura na qual as moléculas de água ficam nos nós da estrutura de Weaire-Phelan e são ligadas por hidrogênio , e as moléculas maiores de gás ficam presas nas gaiolas poliédricas. Alguns metais alcalinos silicietos e germanides também formar essa estrutura, com silício ou germânio nos nós, e metais alcalinos em gaiolas.
Em arquitetura
A estrutura Weaire-Phelan é a inspiração para o projeto de Tristram Carfrae do Centro Aquático Nacional de Pequim , o 'Cubo d'Água', para os Jogos Olímpicos de 2008 .
Veja também
- The Pursuit of Perfect Packing , um livro de Weaire sobre este e problemas relacionados
Referências
links externos
- Modelos 3D das estruturas Weaire – Phelan, Kelvin e P42a
- Página de bolhas de Weaire – Phelan com ilustrações e 'redes' disponíveis para download gratuito para imprimir e fazer modelos.
- "Weaire-Phelan Smart Modular Space Settlement" , Alexandru Pintea, 2017, Individual First Prize NASA Ames Space Settlement Contest: