Princípio do círculo vicioso - Vicious circle principle

O princípio do círculo vicioso é um princípio que foi endossado por muitos matemáticos predicativistas no início do século 20 para prevenir contradições. O princípio afirma que nenhum objeto ou propriedade pode ser introduzido por uma definição que dependa desse objeto ou propriedade em si. Além de descartar definições que são explicitamente circulares (como "um objeto tem propriedade P se não for próximo a nada que tenha propriedade P "), este princípio exclui definições que quantificam sobre domínios que incluem a entidade sendo definida. Assim, bloqueia o paradoxo de Russell , que define um conjunto R que contém todos os conjuntos que não se contêm. Essa definição é bloqueada porque define um novo conjunto em termos da totalidade de todos os conjuntos, dos quais esse novo conjunto seria ele próprio um membro.

No entanto, também bloqueia uma definição padrão dos números naturais . Primeiro, definimos uma propriedade como sendo " hereditária " se, sempre que um número n tiver a propriedade, o mesmo ocorrerá com n  +1. Então dizemos que x tem a propriedade de ser um número natural se, e somente se , tiver todas as propriedades hereditárias que 0 possui. Essa definição é bloqueada, porque define "número natural" em termos da totalidade de todas as propriedades hereditárias, mas o próprio "número natural" seria uma propriedade hereditária, de modo que a definição é circular nesse sentido.

A maioria dos matemáticos e filósofos modernos da matemática pensa que essa definição particular não é circular em nenhum sentido problemático e, portanto, rejeitam o princípio do círculo vicioso. Mas foi endossado por muitos pesquisadores do início do século 20, incluindo Bertrand Russell e Henri Poincaré . Por outro lado, Frank P. Ramsey e Rudolf Carnap aceitaram a proibição da circularidade explícita, mas argumentaram contra a proibição da quantificação circular. Afinal, a definição "seja T o homem mais alto da sala" define T por meio da quantificação sobre um domínio (homens na sala) do qual T é membro. Mas isso não é problemático, eles sugerem, porque a definição não cria realmente a pessoa, mas apenas mostra como selecioná-la na totalidade. Da mesma forma, eles sugerem, as definições não criam realmente conjuntos ou propriedades ou objetos, mas apenas fornecem uma maneira de selecionar a entidade já existente da coleção da qual faz parte. Portanto, esse tipo de circularidade em termos de quantificação não pode causar problemas.

Esse princípio foi a razão para o desenvolvimento de Russell da teoria ramificada dos tipos, em vez da teoria dos tipos simples . (Consulte "Hierarquia Ramificada e Princípios Impredicativos".)

Uma análise dos paradoxos a serem evitados mostra que todos eles resultam de uma espécie de círculo vicioso. Os círculos viciosos em questão surgem da suposição de que uma coleção de objetos pode conter membros que só podem ser definidos por meio da coleção como um todo. Assim, por exemplo, a coleção de proposições deverá conter uma proposição afirmando que "todas as proposições são verdadeiras ou falsas." Parece, no entanto, que tal afirmação não poderia ser legítima a menos que "todas as proposições" se referissem a alguma coleção já definida, o que não pode acontecer se novas proposições forem criadas por afirmações sobre "todas as proposições". Teremos, portanto, de dizer que as afirmações sobre “todas as proposições” não têm sentido. ... O princípio que nos permite evitar totalidades ilegítimas pode ser enunciado da seguinte forma: “Tudo o que envolve toda uma coleção não deve ser parte da coleção”; ou, inversamente: "Se, desde que uma determinada coleção tivesse um total, ela teria membros apenas definíveis em termos desse total, então a referida coleção não tem total." Chamaremos isso de “princípio do círculo vicioso”, porque nos permite evitar os círculos viciosos envolvidos na suposição de totalidades ilegítimas. (Whitehead e Russell 1910, 37) (citado na entrada da Stanford Encyclopedia of Philosophy sobre Russell's Paradox )

Veja também

Referências

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