Salto de faixa variável - Variable-range hopping

O salto de faixa variável é um modelo usado para descrever o transporte de portadores em um semicondutor desordenado ou em um sólido amorfo por meio do salto em uma faixa de temperatura estendida. Tem uma dependência característica da temperatura de

${\ displaystyle \ sigma = \ sigma _ {0} e ^ {- (T_ {0} / T) ^ {\ beta}}}$

onde é um parâmetro dependente do modelo em consideração. ${\ displaystyle \ beta}$

Salto de faixa variável de Mott

O salto variável de Mott descreve a condução de baixa temperatura em sistemas fortemente desordenados com estados de portadores de carga localizados e tem uma dependência de temperatura característica de

${\ displaystyle \ sigma = \ sigma _ {0} e ^ {- (T_ {0} / T) ^ {1/4}}}$

para condutância tridimensional (com = 1/4), e é generalizado para dimensões d${\ displaystyle \ beta}$

${\ displaystyle \ sigma = \ sigma _ {0} e ^ {- (T_ {0} / T) ^ {1 / (d + 1)}}}$ .

Pular a condução em baixas temperaturas é de grande interesse por causa da economia que a indústria de semicondutores poderia alcançar se fosse capaz de substituir dispositivos de cristal único por camadas de vidro.

Derivação

O artigo original de Mott introduziu uma suposição simplificadora de que a energia do salto depende inversamente do cubo da distância do salto (no caso tridimensional). Mais tarde, foi mostrado que essa suposição era desnecessária, e essa prova é seguida aqui. No artigo original, a probabilidade de salto em uma determinada temperatura dependia de dois parâmetros, R a separação espacial dos locais e W , sua separação de energia. Apsley e Hughes observaram que, em um sistema verdadeiramente amorfo, essas variáveis ​​são aleatórias e independentes e, portanto, podem ser combinadas em um único parâmetro, o intervalo entre dois locais, que determina a probabilidade de salto entre eles. ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {R}}}$

Mott mostrou que a probabilidade de pular entre dois estados de separação espacial e separação de energia W tem a forma: ${\ displaystyle \ textstyle R}$

${\ displaystyle P \ sim \ exp \ left [-2 \ alpha R - {\ frac {W} {kT}} \ right]}$

onde α ⁻¹ é o comprimento de atenuação para uma função de onda localizada semelhante ao hidrogênio. Isso pressupõe que pular para um estado com uma energia mais alta é o processo de limitação da taxa.

Agora definimos o intervalo entre dois estados, então . Os estados podem ser considerados como pontos em uma matriz aleatória quadridimensional (três coordenadas espaciais e uma coordenada de energia), com a "distância" entre eles dada pelo intervalo . ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {R}} = 2 \ alpha R + W / kT}$${\ displaystyle \ textstyle P \ sim \ exp (- {\ mathcal {R}})}$${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {R}}}$

A condução é o resultado de muitas séries de saltos através dessa matriz quadridimensional e, como os saltos de curto alcance são favorecidos, é a "distância" média do vizinho mais próximo entre os estados que determina a condutividade geral. Assim, a condutividade tem a forma

${\ displaystyle \ sigma \ sim \ exp (- {\ overline {\ mathcal {R}}} _ {nn})}$

onde é a faixa média do vizinho mais próximo. O problema é, portanto, calcular essa quantidade. ${\ displaystyle \ textstyle {\ overline {\ mathcal {R}}} _ {nn}}$

A primeira etapa é obter o número total de estados dentro de uma faixa de algum estado inicial no nível de Fermi. Para dimensões d , e sob suposições particulares, isso acaba sendo ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {N}} ({\ mathcal {R}})}$${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {R}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {N}} ({\ mathcal {R}}) = K {\ mathcal {R}} ^ {d + 1}}$

onde . As suposições específicas são simplesmente que é bem menor que a largura de banda e confortavelmente maior que o espaçamento interatômico. ${\ displaystyle \ textstyle K = {\ frac {N \ pi kT} {3 \ vezes 2 ^ {d} \ alpha ^ {d}}}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ overline {\ mathcal {R}}} _ {nn}}$

Então, a probabilidade de que um estado com intervalo seja o vizinho mais próximo no espaço quadridimensional (ou, em geral, o espaço ( d +1) -dimensional) é ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {R}}}$

${\ displaystyle P_ {nn} ({\ mathcal {R}}) = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {N}} ({\ mathcal {R}})} {\ parcial {\ mathcal {R}} }} \ exp [- {\ mathcal {N}} ({\ mathcal {R}})]}$

a distribuição do vizinho mais próximo.

Para o caso d- dimensional, então

${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {R}}} _ {nn} = \ int _ {0} ^ {\ infty} (d + 1) K {\ mathcal {R}} ^ {d + 1} \ exp (-K {\ mathcal {R}} ^ {d + 1}) d {\ mathcal {R}}}$ .

Isso pode ser avaliado fazendo uma simples substituição de na função gama , ${\ displaystyle \ textstyle t = K {\ mathcal {R}} ^ {d + 1}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {z-1} e ^ {- t} \, \ mathrm {d} t}$

Depois de alguma álgebra, isso dá

${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {R}}} _ {nn} = {\ frac {\ Gamma ({\ frac {d + 2} {d + 1}})} {K ^ {\ frac {1 } {d + 1}}}}}$

e daí que

${\ displaystyle \ sigma \ propto \ exp \ left (-T ^ {- {\ frac {1} {d + 1}}} \ right)}$ .

Densidade não constante de estados

Quando a densidade dos estados não é constante (lei de potência ímpar N (E)), a condutividade de Mott também é recuperada, conforme mostrado neste artigo .

Salto de faixa variável Efros – Shklovskii

O salto de alcance variável Efros – Shklovskii (ES) é um modelo de condução responsável pelo gap de Coulomb , um pequeno salto na densidade de estados próximos ao nível de Fermi devido às interações entre elétrons localizados. Foi nomeado em homenagem a Alexei L. Efros e Boris Shklovskii, que o propôs em 1975.

A consideração da lacuna de Coulomb muda a dependência da temperatura para

${\ displaystyle \ sigma = \ sigma _ {0} e ^ {- (T_ {0} / T) ^ {1/2}}}$

para todas as dimensões (ou seja, = 1/2). ${\ displaystyle \ beta}$

Veja também

• Vantagem de mobilidade

Notas