Vamos denotar um vetor aleatório (correspondente às medidas), obtido de uma família parametrizada de funções de densidade de probabilidade ou funções de massa de probabilidade , que depende do parâmetro determinístico desconhecido . O espaço de parâmetros é dividido em dois conjuntos separados e . Vamos denotar a hipótese que , e vamos denotar a hipótese que . O teste binário de hipóteses é executado usando uma função de teste .
o que significa que está em vigor se a medição e que está em vigor se a medição . Observe que é uma cobertura desconexa do espaço de medição.
Definição formal
Uma função de teste é UMP de tamanho se para qualquer outra função de teste satisfatória
temos
Teorema de Karlin-Rubin
O teorema de Karlin-Rubin pode ser considerado uma extensão do lema de Neyman-Pearson para hipóteses compostas. Considere uma medição escalar com uma função de densidade de probabilidade parametrizada por um parâmetro escalar θ e defina a razão de verossimilhança . Se for monótono e não decrescente, em , para qualquer par (o que significa que quanto maior , mais provável é), então o teste de limite:
onde é escolhido tal que
é o teste UMP de tamanho α para testar
Observe que exatamente o mesmo teste também é UMP para teste
tem uma razão de verossimilhança não decrescente monótona na estatística suficiente , desde que não diminua.
Exemplo
Deixe denotar iid vetores aleatórios dimensionais normalmente distribuídos com média e matriz de covariância . Então temos
que está exatamente na forma da família exponencial mostrada na seção anterior, com a estatística suficiente sendo
Assim, concluímos que o teste
é o teste UMP de tamanho para teste vs.
Discussão posterior
Finalmente, notamos que, em geral, os testes UMP não existem para parâmetros vetoriais ou para testes bilaterais (um teste em que uma hipótese está em ambos os lados da alternativa). A razão é que, nessas situações, o teste mais poderoso de um determinado tamanho para um valor possível do parâmetro (por exemplo, para onde ) é diferente do teste mais poderoso do mesmo tamanho para um valor diferente do parâmetro (por exemplo, para onde ) Como resultado, nenhum teste é uniformemente mais poderoso nessas situações.
Referências
Leitura adicional
Ferguson, TS (1967). "Seção 5.2: Testes uniformemente mais poderosos ". Estatística Matemática: Uma abordagem teórica da decisão . Nova York: Academic Press.
Humor, AM; Graybill, FA; Boes, DC (1974). "Seção IX.3.2: Testes uniformemente mais poderosos ". Introdução à teoria da estatística (3ª ed.). Nova York: McGraw-Hill.
LL Scharf, Statistical Signal Processing , Addison-Wesley, 1991, seção 4.7.