Semiring tropical - Tropical semiring

Em análise idempotente , a semiragem tropical é uma semiragem de números reais estendidos com as operações de mínimo (ou máximo ) e adição substituindo as operações usuais ("clássicas") de adição e multiplicação, respectivamente.

A semifiação tropical tem várias aplicações (ver análise tropical ) e forma a base da geometria tropical .

Definição

o min semiring tropical (oumin-plus semiring ouálgebra min-plus ) é asemirregação(ℝ ∪ {+ ∞}, ⊕, ⊗), com as operações:

${\ displaystyle x \ oplus y = \ min \ {x, y \},}$

${\ displaystyle x \ otimes y = x + y.}$

As operações ⊕ e ⊗ são referidas como adição tropical e multiplicação tropical, respectivamente. A unidade para ⊕ é + ∞ e a unidade para ⊗ é 0.

Da mesma forma, o semiring tropical máxima (oumax-plus semiring ouálgebra max-plus ) é o semiramento (ℝ ∪ {−∞}, ⊕, ⊗), com operações:

${\ displaystyle x \ oplus y = \ max \ {x, y \},}$

${\ displaystyle x \ otimes y = x + y.}$

A unidade para ⊕ é −∞ e a unidade para ⊗ é 0.

Os dois semirings são isomórficos sob negação , e geralmente um deles é escolhido e referido simplesmente como o semirante tropical . As convenções diferem entre autores e subcampos: alguns usam a convenção min , alguns usam a convenção max . ${\ displaystyle x \ mapsto -x}$

A adição tropical é idempotente , portanto, uma semifiação tropical é um exemplo de uma semifiação idempotente .

Um semirante tropical também é conhecido como um álgebra tropical , embora isso não deva ser confundido com umaálgebra associativasobre uma semifiação tropical.

A exponenciação tropical é definida da maneira usual como produtos tropicais iterados (ver Exponenciação § Em álgebra abstrata ).

Campos de valor

As operações de semiring tropical modelam como as avaliações se comportam sob adição e multiplicação em um campo avaliado . Um campo de valor real K é um campo equipado com uma função

${\ displaystyle v \ colon K \ to \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \}}$

que satisfaz as seguintes propriedades para todo a , b em K :

${\ displaystyle v (a) = \ infty}$ se e apenas se ${\ displaystyle a = 0,}$

${\ displaystyle v (ab) = v (a) + v (b) = v (a) \ otimes v (b),}$

${\ displaystyle v (a + b) \ geq \ min \ {v (a), v (b) \} = v (a) \ oplus v (b),}$ com igualdade se ${\ displaystyle v (a) \ neq v (b).}$

Portanto, a avaliação v é quase um homomorfismo semirante de K para o semirante tropical, exceto que a propriedade de homomorfismo pode falhar quando dois elementos com a mesma avaliação são somados.

Alguns campos de valor comum:

• Q ou C com a valoração trivial, v ( a ) = 0 para todo a ≠ 0,
• Q ou suas extensões com a valorização p-adic , v ( p ⁿ um / b ) = N para um e b coprime para p ,
• o campo da série formal de Laurent K (( t )) (potências inteiras), ou o campo da série de Puiseux K {{ t }}, ou o campo da série de Hahn , com a avaliação retornando o menor expoente de t aparecendo na série.

Referências