Norma uniforme - Uniform norm

O perímetro do quadrado é o conjunto de pontos em R ² onde a norma sup é igual a uma constante positiva fixa. Por exemplo, os pontos (2, 0) , (2, 1) e (2, 2) estão ao longo do perímetro de um quadrado e pertencem ao conjunto de vetores cuja norma sup é 2.

Na análise matemática , a norma uniforme (ou norma sup ) atribui a funções limitadas de valor real ou complexo f definidas em um conjunto S o número não negativo

${\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ | f \ | _ {\ infty, S} = \ sup \ left \ {\, \ left | f (x) \ right |: x \ in S \,\direito\}.}$

Esta norma também é chamado de norma suprema, a norma Chebyshev, a norma infinita, ou, quando o supremo é na verdade o máximo, a norma máxima . O nome "norma uniforme" deriva do fato de que uma sequência de funções converge para sob a métrica derivada da norma uniforme se e somente se converge para uniformemente . ${\ displaystyle \ {f_ {n} \}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle f}$

A métrica gerada por essa norma é chamada de métrica Chebyshev , em homenagem a Pafnuty Chebyshev , que foi o primeiro a estudá-la sistematicamente.

Se permitirmos funções ilimitadas, esta fórmula não produz uma norma ou métrica em sentido estrito, embora a chamada métrica estendida obtida ainda permita definir uma topologia no espaço de funções em questão.

Se f é uma função contínua em um intervalo fechado , ou mais geralmente um conjunto compacto , então ela é limitada e o supremo na definição acima é obtido pelo teorema do valor extremo de Weierstrass , então podemos substituir o supremo pelo máximo. Nesse caso, a norma também é chamada de norma máxima . Em particular, se for algum vetor tal que no espaço de coordenadas de dimensão finita , ele assume a forma: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$

$${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty}: = \ max \ left (\ left | x_ {1} \ right |, \ ldots, \ left | x_ {n} \ right | \ right).}$$

O conjunto de vetores cuja norma de infinito é uma dada constante, c , forma a superfície de um hipercubo com comprimento de aresta 2 c .

A razão para o subscrito "∞" é que sempre que f é contínuo

${\ displaystyle \ lim _ {p \ rightarrow \ infty} \ | f \ | _ {p} = \ | f \ | _ {\ infty},}$

Onde

${\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ left (\ int _ {D} \ left | f \ right | ^ {p} \, d \ mu \ right) ^ {1 / p}}$

onde D é o domínio de f (e a integral equivale a uma soma se D for um conjunto discreto ).

A função binária

${\ displaystyle d (f, g) = \ | fg \ | _ {\ infty}}$

é então uma métrica no espaço de todas as funções limitadas (e, obviamente, qualquer um de seus subconjuntos) em um domínio particular. Uma sequência { f _n  : n = 1, 2, 3, ...} converge uniformemente para uma função f se e somente se

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ | f_ {n} -f \ | _ {\ infty} = 0. \,}$

Podemos definir conjuntos fechados e fechamentos de conjuntos com relação a essa topologia métrica; conjuntos fechados na norma uniforme às vezes são chamados uniformemente fechado e fechamento fechamentos uniformes . O fechamento uniforme de um conjunto de funções A é o espaço de todas as funções que podem ser aproximadas por uma sequência de funções uniformemente convergentes em A. Por exemplo, uma reformulação do teorema de Stone-Weierstrass é que o conjunto de todas as funções contínuas em é o fechamento uniforme do conjunto de polinômios em . ${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle [a, b]}$

Para funções contínuas complexas em um espaço compacto, isso o transforma em uma álgebra C * .

Veja também

• Continuidade uniforme
• Espaço uniforme
• Distância de Chebyshev

Referências