Soma dos quadrados - Sum of squares

Em matemática , estatística e em outros lugares, as somas dos quadrados ocorrem em vários contextos:

Estatisticas

Para particionamento de variância, veja Partição de somas de quadrados
Para a "soma dos desvios quadrados", consulte Mínimos quadrados
Para a "soma das diferenças quadradas", consulte Erro quadrático médio
Para a "soma do erro quadrático", consulte Soma residual dos quadrados
Para a "soma dos quadrados devido à falta de ajuste", ver soma Falta-of-fit de praças
Para somas de quadrados relacionadas às previsões do modelo, consulte Soma explicada de quadrados
Para somas dos quadrados relacionadas às observações, consulte Soma total dos quadrados
Para somas de desvios quadrados, consulte Desvios quadrados da média
Para modelagem envolvendo somas de quadrados, consulte Análise de variância
Para modelagem envolvendo a generalização multivariada de somas de quadrados, consulte Análise multivariada de variância

Teoria dos Números

Para a soma dos quadrados de inteiros consecutivos, consulte o número piramidal quadrado
Para representar um inteiro como a soma dos quadrados de 4 inteiros, veja o teorema dos quatro quadrados de Lagrange
O teorema dos três quadrados de Legendre afirma quais números podem ser expressos como a soma dos três quadrados
O teorema dos quatro quadrados de Jacobi fornece o número de maneiras que um número pode ser representado como a soma de quatro quadrados.
Para o número de representações de um inteiro positivo como a soma dos quadrados de k inteiros, consulte Função Soma dos quadrados .
O teorema de Fermat sobre as somas de dois quadrados diz que os primos são somas de dois quadrados.
- O teorema da soma dos dois quadrados generaliza o teorema de Fermat para especificar quais números compostos são as somas de dois quadrados.
Os triplos pitagóricos são conjuntos de três inteiros, de modo que a soma dos quadrados dos dois primeiros é igual ao quadrado do terceiro.
Um primo pitagórico é um primo que é a soma de dois quadrados; Teorema de Fermat sobre somas de dois estados quadrados cujos primos são primos pitagóricos.
Os triângulos pitagóricos com altitude inteira da hipotenusa têm a soma dos quadrados dos inversos das pernas inteiras igual ao quadrado do inverso da altitude inteira da hipotenusa.
Os quádruplos pitagóricos são conjuntos de quatro inteiros, de modo que a soma dos quadrados dos três primeiros é igual ao quadrado do quarto.
O problema de Basel , resolvido por Euler em termos de , pedia uma expressão exata para a soma dos quadrados dos recíprocos de todos os inteiros positivos. ${\ displaystyle \ pi}$
A regra do triplo-quádruplo e a regra do triplo espalhamento da trigonometria racional contêm somas de quadrados, semelhantes à fórmula de Heron.

Álgebra e geometria algébrica

Para representar um polinômio como a soma dos quadrados dos polinômios , consulte Polinômio SOS .
- Para otimização computacional , consulte Otimização por soma dos quadrados .
Para representar um polinômio multivariado que assume apenas valores não negativos sobre os reais como uma soma de quadrados de funções racionais , consulte o décimo sétimo problema de Hilbert .
A identidade Brahmagupta-Fibonacci diz que o conjunto de todas as somas de dois quadrados é fechado sob multiplicação.
A soma das dimensões quadradas das representações complexas não equivalentes de pares de um grupo finito é igual à cardinalidade desse grupo.

Geometria euclidiana e outros espaços de produto interno

O teorema de Pitágoras diz que o quadrado na hipotenusa de um triângulo retângulo é igual em área à soma dos quadrados nas pernas.
A distância Euclidiana quadrada (SED) é definida como a soma dos quadrados das diferenças entre as coordenadas.
A fórmula de Heron para a área de um triângulo pode ser reescrita usando as somas dos quadrados dos lados de um triângulo (e as somas dos quadrados dos quadrados)
O teorema da bandeira britânica para retângulos equivale a duas somas de dois quadrados
A lei do paralelogramo iguala a soma dos quadrados dos quatro lados à soma dos quadrados das diagonais
O teorema de Descartes para quatro círculos que se beijam envolve somas de quadrados
A soma dos quadrados das bordas de um cuboide retangular é igual ao quadrado de qualquer diagonal do espaço

Veja também

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